Har du nogensinde spekuleret på, hvor meget vand eller kaffe der kan passe ind i en af de tilsyneladende utallige engangsvandkopper af plast, den slags der er smallere i bunden end øverst? Med andre ord, næsten alle papirer, plastik eller andre engangskopper, du nogensinde har set eller brugt? (For at være retfærdig har nogle kopper ikke skrå sider og er således cylindriske, men dette synes kun at gælde for permanent kopper.)
Den ovenfor beskrevne form er baseret på en kegle, som er resultatet af en linje, der fejer gennem rummet og sporer en buet sti såsom en cirkel (i det enkleste tilfælde) eller en ellipse. En kop er normalt ikke spids (nogle der indeholder frosne godbidder er), men det er stadig et "stykke" af en kegle geometrisk set. Det gør det let med tålmodighed at finde lydstyrken.
Volumenet af en kegle
Formlen for volumenet af en almindelig eller højre kegle (dvs. en med en cirkulær base) er
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
Hvor r er radius af basen og h er keglens højde. Da en højre kegle fra siden ligner to højre trekanter placeret sammen, længden
s af den skrånende side af keglen har den samme værdi som hypotenusen i en af disse trekanter. Det gives således ved at anvende den pythagoriske sætning: r2 + h2 = s2, sås = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Volumen af en tilspidset kop: Del 1
Sig, at du har en kop, der er 8 centimeter (cm) bred i bunden, 10 cm tværs øverst og 15 cm høj. Hvor meget væske kan den holde i cm3, også kaldet milliliter (ml)?
En måde at nærme sig dette problem på er at tegne et tværsnit af koppen, det vil sige, hvordan det ser ud fra siden efter at være skåret nøjagtigt i halvt vinkelret på dit synsfelt. Hvis du tegner lodrette linjer opad fra de to punkter, hvor basen møder siderne til toppen af koppen, har du nu delt tværsnittet i to lige, reflekterede højre trekanter og a rektangel. Trekanterne har lange "ben" på 15 cm og korte "ben" på 1 cm (opdeling af forskellen mellem bundbredde og topbredde).
Volumen af en tilspidset kop: Anden del
Bemærk hvad der sker, hvis du forlænger siderne på koppen i diagrammet ned til et punkt under bunden. Forlæng også en linje op fra midten af toppen mod det punkt, disse linjer konvergerer mod. (Du har muligvis ikke plads til at få siderne til at mødes og danne en lukket trekant, men kom så tæt som muligt)
På grund af princippet om lignende trekanter ved du, at forholdet mellem trekantenes lange ben ovenfra (15 cm) og det lille ben (1 cm) eller 15 til 1, skal være det samme som forholdet mellem det lille ben og det lange ben på en af de nyoprettede trekanter mellem bunden af "koppen" og punkt. Da det lille ben har en værdi på 4 cm, skal det lange ben være 15 gange så stort eller 60 cm.
Således har du nu at gøre med tværsnittet af en kegle med en samlet højde på 15 + 60 = 75 cm og en bredde på 10 cm, hvilket betyder en radius på 5 cm. Volumenet på denne kegle minus volumenet på keglen, der strækker sig op til bunden af koppen, som har en højde på 60 cm og en bredde på 8 cm (r = 4 cm) giver det ønskede resultat:
\ begin {align} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963.5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005.3 \ text {mL} \\ 1963.5 - 1005.3 = 958.2 \ text {mL} \ end {justeret}
Således holder din kop meget tæt på 1 liter (1.000 ml) væske.
Kegle- og kopvolumenberegner
Se ressourcerne for en liste over regnemaskiner, der involverer kegler givet forskellige indledende kombinationer af information. Alternativt kan du bruge en fremgangsmåde som den ovenfor og opdele koppen i forskellige former og derefter bruge enklere formler (såsom formlen for en ternings volumen) i passende kombinationer for at finde det samlede tal bind.