Projektilbevægelsehenviser til bevægelsen af en partikel, der overføres med en indledende hastighed, men som efterfølgende udsættes for ingen kræfter ud over tyngdekraften.
Dette inkluderer problemer, hvor en partikel smides i en vinkel mellem 0 og 90 grader i forhold til det vandrette, hvor det vandrette normalt er jorden. For nemheds skyld antages disse projektiler at rejse i (x, y) fly, medxrepræsenterer vandret forskydning ogylodret forskydning.
Stien, som et projektil går, kaldes densbane. (Bemærk, at det fælles led i "projektil" og "bane" er stavelsen "-ject", det latinske ord for "throw". At skubbe nogen ud er bogstaveligt talt at kaste ham ud.) Projektilets oprindelsessted i problemer, hvor du har brug for at beregne banen, antages normalt at være (0, 0) for enkelheds skyld, medmindre andet er angivet.
Banen for et projektil er en parabel (eller i det mindste sporer en del af en parabel), hvis partiklen lanceres på en sådan måde, at der er en ikke-nul vandret bevægelseskomponent, og der ikke er nogen luftmodstand, der påvirker partikel.
De kinematiske ligninger
Variablerne af interesse i bevægelsen af en partikel er dens positionskoordinaterxogy, dens hastighedvog dens acceleration-en, alt i forhold til en given forløbet tidtsiden starten af problemet (når partiklen lanceres eller frigives). Bemærk, at udeladelse af masse (m) indebærer, at tyngdekraften på jorden virker uafhængigt af denne størrelse.
Bemærk også, at disse ligninger ignorerer luftmodstandens rolle, hvilket skaber en trækkraft, der modsætter sig bevægelse i virkelige jordsituationer. Denne faktor introduceres i mekanikskurser på højere niveau.
Variabler, der får et abonnement "0", henviser til værdien af den mængde på tidspunktett= 0 og er konstanter; ofte er denne værdi 0 takket være det valgte koordinatsystem, og ligningen bliver så meget enklere. Acceleration behandles som konstant i disse problemer (og er i y-retningen og lig med -g,eller–9,8 m / s2, accelerationen på grund af tyngdekraften nær jordens overflade).
Vandret bevægelse:
x = x_0 + v_xt
- Begrebet
vxer den konstante x-hastighed.
Lodret bevægelse:
y = y_0 + ((v_ {0y} + v_y) / 2) t \\ v_y = v_ {0y} -gt \\ y = y_0 + v_ {0y} t- (1/2) gt ^ 2 \\ v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2-2g (y-y_0)
Eksempler på projektilbevægelse
Nøglen til at være i stand til at løse problemer, der inkluderer baneberegninger, er at vide, at de vandrette (x) og lodrette (y) komponenter i bevægelse kan analyseres separat som vist ovenfor, og deres respektive bidrag til den samlede bevægelse pænt opsummeres i slutningen af programmet problem.
Problemer med projektilbevægelse tæller som frit faldsproblemer, uanset hvordan ting ser ud lige efter tidt= 0, den eneste kraft, der virker på den bevægelige genstand, er tyngdekraften.
- Vær opmærksom på, at fordi tyngdekraften virker nedad, og dette anses for at være den negative y-retning, er værdien af acceleration -g i disse ligninger og problemer.
Beregning af bane
1. De hurtigste kander i baseball kan kaste en bold i lidt over 100 miles i timen eller 45 m / s. Hvis en bold kastes lodret opad i denne hastighed, hvor høj bliver den, og hvor lang tid tager det at vende tilbage til det punkt, hvor den blev frigivet?
Hervy0= 45 m / s, -g= –9,8 m / s, og mængden af interesse er den ultimative højde, ellery,og den samlede tid tilbage til Jorden. Samlet tid er en todelt beregning: tid op til y og tid tilbage til y0 = 0. I den første del af problemet,vy,når bolden når sin højdepunkt, er 0.
Start med at bruge ligningenvy2= v0y2 - 2g (y - y0)og tilslutte de værdier, du har:
0 = (45) ^ 2 - (2) (9.8) (y - 0) = 2.025 - 19.6y \ betyder y = 103.3 \ tekst {m}
Ligningenvy = v0y - gtviser, at tiden t dette tager er (45 / 9,8) = 4,6 sekunder. For at få samlet tid skal du tilføje denne værdi til den tid det tager for bolden at falde frit til dets startpunkt. Dette er givet afy = y0 + v0yt - (1/2) gt2, hvor nu, fordi bolden stadig er i det øjeblik, før den begynder at styrtdykke,v0y = 0.
Løsning:
103.3 = (1/2) gt ^ 2 \ betyder t = 4,59 \ tekst {s}
Den samlede tid er således 4,59 + 4,59 = 9,18 sekunder. Det måske overraskende resultat, at hvert "ben" af turen, op og ned, tog samme tid, understreger det faktum, at tyngdekraften er den eneste kraft, der er i spil her.
2. Omfangsligningen:Når et projektil lanceres med en hastighedv0og en vinkel θ fra det vandrette, har den indledende vandrette og lodrette hastighedskomponenterv0x = v0(cos θ) ogv0y = v0(synd θ).
Fordivy = v0y - gtogvy = 0 når projektilet når sin maksimale højde, gives tiden til maksimal højde ved t =v0y/g. På grund af symmetri er den tid det tager at vende tilbage til jorden (eller y = y0) er simpelthen 2t = 2v0y/g.
Endelig kombinerer disse med forholdet x =v0xt er den vandrede vandrede afstand givet en startvinkel θ
R = 2 \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta}} {g} = \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {2 \ theta}} {g}
(Det sidste trin kommer fra den trigonometriske identitet 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Da sin2θ har sin maksimale værdi på 1, når θ = 45 grader, maksimerer brugen af denne vinkel den vandrette afstand for en given hastighed ved
R = \ frac {v_0 ^ 2} {g}
