Forestil dig, at du står midt i en perfekt cirkulær arena. Du kigger ud mod folkemængderne langs siderne af arenaen, og du ser din bedste ven på et sæde og din matematiklærer i mellemskolen et par sektioner over. Hvad er afstanden mellem dem og dig? Hvor langt skal du gå for at rejse fra din vens plads til din lærersæde? Hvad er målene for vinklerne imellem dig? Dette er alle spørgsmål relateret til centrale vinkler.
EN central vinkel er den vinkel, der dannes, når to radier trækkes fra midten af cirklen til dens kanter. I dette eksempel er de to radier dine to synslinjer fra dig midt i arenaen til din ven og din synslinje til din lærer. Vinklen, der dannes mellem disse to linjer, er den centrale vinkel. Det er den vinkel, der er tættest på centrum af cirklen.
Din ven og din lærer sidder langs omkreds eller kanterne af cirklen. Stien langs arenaen, der forbinder dem, er en bue.
Find den centrale vinkel fra buelængde og omkreds
Der er et par ligninger, du kan bruge til at finde den centrale vinkel. Nogle gange får du
(buelængde) ÷ omkreds = (central vinkel) ÷ 360 °
Den centrale vinkel er i grader.
Denne formel giver mening, hvis du tænker over det. Længden af buen ud af den samlede længde omkring cirklen (omkreds) er den samme andel som buens vinkel ud af den samlede vinkel i en cirkel (360 grader).
For at bruge denne ligning effektivt skal du kende cirkelens omkreds. Men du kan også bruge denne formel til at finde buelængden, hvis du kender den centrale vinkel og omkredsen. Eller hvis du har buelængden og den centrale vinkel, kan du finde omkredsen!
Find den centrale vinkel fra buelængden og radius
Du kan også bruge cirkelens radius og buelængden til at finde den centrale vinkel. Kald målingen for den centrale vinkel θ. Derefter:
θ = s÷ rhvor s er buelængden og r er radius. θ måles i radianer.
Igen kan du omarrangere denne ligning afhængigt af de oplysninger, du har. Du kan finde buelængden fra radius og den centrale vinkel. Eller du kan finde radius, hvis du har den centrale vinkel og buelængden.
Hvis du vil have buelængden, ser ligningen sådan ud:
s =θ * r, hvor s er buelængden, r er radius, og θ er den centrale vinkel i radianer.
The Central Angle Theorem
Lad os tilføje et twist til dit eksempel, hvor du er på arenaen med din nabo og din lærer. Nu er der en tredje person, du kender på arenaen: din næste nabo. Og en ting mere: De er bag dig. Du skal vende dig om for at se dem.
Din nabo er omtrent på tværs af arenaen fra din ven og din lærer. Fra din nabos synspunkt er der en vinkel dannet af deres synsfelt til venen og deres synsfelt til læreren. Det kaldes en indskrevet vinkel. En indskrevet vinkel er en vinkel dannet af tre punkter langs en cirkels omkreds.
The Central Angle Theorem forklarer forholdet mellem størrelsen på den centrale vinkel, dannet af dig, og den indskrevne vinkel, dannet af din nabo. Det Central vinkel sætning siger, at den centrale vinkel er dobbelt så stor som den indskrevne vinkel. (Dette forudsætter, at du bruger de samme slutpunkter. I kigger begge på læreren og venen, ikke nogen anden).
Her er en anden måde at skrive det på. Lad os ringe til din vens sæde A, din lærersæde B og din nabos sæde C. Du i centrum kan være O.
Så for tre punkter A, B og C langs omkredsen af en cirkel og punkt O i midten er den centrale vinkel ∠AOC dobbelt den indskrevne vinkel ∠ABC.
Det er, ∠AOC = 2∠ABC.
Dette giver mening. Du er tættere på venen og læreren, så for dig ser de længere fra hinanden (en større vinkel). For din nabo på den anden side af stadionet ser de meget tættere på hinanden (en mindre vinkel).
Undtagelse fra Central Angle Theorem
Lad os nu flytte tingene op. Din nabo på den anden side af arenaen begynder at bevæge sig rundt! De har stadig en sigtelinje til venen og læreren, men linjerne og vinklerne skifter ved at nabo bevæger sig. Gæt hvad: Så længe naboen forbliver uden for buen mellem venen og naboen, gælder den centrale vinkelsætning stadig!
Men hvad sker der, når naboen flytter mellem venen og læreren? Nu er din nabo inde i mindre bue, den relativt lille afstand mellem venen og læreren sammenlignet med den større afstand omkring resten af arenaen. Derefter når du en undtagelse fra Central Angle Theorem.
Det undtagelse fra Central Angle Theorem angiver, at når punkt C, naboen, er inde i den mindre bue, er den indskrevne vinkel supplementet til halvdelen af den centrale vinkel. (Husk, at en vinkel og dens supplement tilføj til 180 grader.)
Så: indskrevet vinkel = 180 - (central vinkel ÷ 2)
Eller: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualiser
Math Open Reference har et værktøj til at visualisere Central Angle Theorem og dens undtagelse. Du kommer til at trække "naboen" til alle forskellige dele af cirklen og se vinklerne ændre sig. Prøv det, hvis du vil have en visuel eller ekstra øvelse!