Nogle gange er "eksponentiel vækst" bare en talefigur, en henvisning til alt, hvad der vokser urimeligt eller utroligt hurtigt. Men i visse tilfælde kan du tage tanken om eksponentiel vækst bogstaveligt. For eksempel kan en population af kaniner vokse eksponentielt, når hver generation formerer sig, derefter spredes deres afkom osv. Forretnings- eller personlig indkomst kan også vokse eksponentielt. Når du bliver bedt om at foretage virkelige beregninger af eksponentiel vækst, arbejder du med tre oplysninger: Startværdi, vækstrate (eller henfald) og tid.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
Brug formlen til at beregne eksponentiel vækst y(t) = a__ekt, hvor -en er værdien i starten, k er vækstraten eller forfaldet, t er tid og y(t) er befolkningens værdi på tidspunktet t.
Forestil dig, at en videnskabsmand studerer væksten af en ny bakterieart. Mens han kunne indtaste værdierne for startmængde, vækstrate og tid i en befolkningsvækstberegner, besluttede han at beregne bakteriepopulationens vækstrate manuelt.
Når man ser tilbage på sine omhyggelige optegnelser, ser forskeren, at hans startpopulation var 50 bakterier. Fem timer senere målte han 550 bakterier.
Indsættelse af videnskabsmandens information i ligningen for eksponentiel vækst eller forfald, y(t) = a__ekt, han har:
550 = 50_ek_5
Det eneste ukendte tilbage i ligningen er k, eller eksponentiel vækst.
At begynde at løse for kdel først begge sider af ligningen med 50. Dette giver dig:
550/50 = (50_ek_5) / 50, hvilket forenkler til:
11 = e_k_5
Tag derefter den naturlige logaritme fra begge sider, som er noteret som ln (x). Dette giver dig:
ln (11) = ln (e_k_5)
Den naturlige logaritme er den omvendte funktion af ex, så det effektivt "fortryder" ex funktion på højre side af ligningen, så du får:
ln (11) = _k_5
Derefter divideres begge sider med 5 for at isolere variablen, hvilket giver dig:
k = ln (11) / 5
Du kender nu hastigheden af eksponentiel vækst for denne population af bakterier: k = ln (11) / 5. Hvis du vil foretage yderligere beregninger med denne population - for eksempel at tilslutte vækstraten til ligningen og estimere befolkningsstørrelsen ved t = 10 timer - det er bedst at lade svaret være i denne form. Men hvis du ikke udfører yderligere beregninger, kan du indtaste denne værdi i en eksponentiel funktionsberegner - eller din videnskabelige regnemaskine - for at få en estimeret værdi på 0,479579. Afhængigt af de nøjagtige parametre for dit eksperiment kan du muligvis afrunde det til 0,48 / time for at gøre det nemmere at beregne eller notere.
Tips
Hvis din vækstrate skulle være mindre end 1, fortæller det dig, at befolkningen krymper. Dette er kendt som forfaldshastigheden eller eksponentielt forfald.