En af de vigtige operationer, du foretager i beregning, er at finde derivater. Afledningen af en funktion kaldes også ændringshastigheden for den funktion. For eksempel, hvis x (t) er positionen for en bil til enhver tid t, så er afledningen af x, som er skrevet dx / dt, bilens hastighed. Derivatet kan også visualiseres som hældningen af en linje, der tangerer grafen for en funktion. På teoretisk niveau er det sådan, som matematikere finder derivater. I praksis bruger matematikere sæt af grundlæggende regler og opslagstabeller.
Derivatet som en skråning
Hældningen af en linje mellem to punkter er stigningen eller forskellen i y-værdier divideret med kørslen eller forskellen i x-værdier. Hældningen af en funktion y (x) for en bestemt værdi af x defineres som hældningen af en linje, der er tangent til funktionen ved punktet [x, y (x)]. For at beregne hældningen konstruerer du en linje mellem punktet [x, y (x)] og et nærliggende punkt [x + h, y (x + h)], hvor h er et meget lille tal. For denne linje er kørslen eller ændringen i x-værdi h, og stigningen eller ændringen i y-værdien er y (x + h) - y (x). Derfor er hældningen af y (x) ved punktet [x, y (x)] omtrent lig med [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. For at få hældningen nøjagtigt beregner du hældningsværdien, når h bliver mindre og mindre, til "grænsen", hvor den går til nul. Hældningen beregnet på denne måde er afledningen af y (x), der er skrevet som y ’(x) eller dy / dx.
Afledningen af en strømfunktion
Du kan bruge hældnings- / grænsemetoden til at beregne de afledte funktioner, hvor y er lig med x til effekten af a, eller y (x) = x ^ a. For eksempel, hvis y er lig med x kuberet, y (x) = x ^ 3, så er dy / dx grænsen, da h går til nul på [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Udvidelse (x + h) ^ 3 giver [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, hvilket reduceres til 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 efter at du har delt af h. I grænsen når h går til nul, går alle udtryk, der har h i, også til nul. Så y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Du kan gøre dette for værdier på en anden end 3, og generelt kan du vise, at d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Afledt af en Power Series
Mange funktioner kan skrives som det, der kaldes en magtserie, som er summen af et uendeligt antal udtryk, hvor hver har formen C (n) x ^ n, hvor x er en variabel, n er et heltal, og C (n) er et specifikt tal for hver værdi af n. For eksempel er effektserien for sinusfunktionen Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., hvor "..." betyder udtryk, der fortsætter på til evighed. Hvis du kender effektserien for en funktion, kan du bruge afledningen af effekten x ^ n til at beregne funktionens afledte. For eksempel er afledningen af Sin (x) lig med 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., hvilket tilfældigvis er magtserien for Cos (x).
Derivater fra tabeller
Derivaterne af grundlæggende funktioner såsom kræfter som x ^ a, eksponentielle funktioner, logfunktioner og trig-funktioner findes ved hjælp af hældnings- / grænsemetoden, strømseriemetoden eller andre metoder. Disse derivater er derefter anført i tabeller. For eksempel kan du slå op, at derivatet af Sin (x) er Cos (x). Når komplekse funktioner er kombinationer af de grundlæggende funktioner, har du brug for specielle regler såsom kæderegel og produktregel, som også er angivet i tabellerne. For eksempel bruger du kædereglen til at finde ud af, at derivatet af Sin (x ^ 2) er 2xCos (x ^ 2). Du bruger produktreglen til at finde ud af, at derivatet af xSin (x) er xCos (x) + Sin (x). Ved hjælp af tabeller og enkle regler kan du finde afledningen af enhver funktion. Men når en funktion er ekstremt kompleks, bruger forskere undertiden computerprogrammer for at få hjælp.