Forskellen mellem klassisk mekanik og kvantemekanik er enorm. Mens partikler og objekter i klassisk mekanik har klart definerede positioner, i kvantemekanik (før en måling) a partikel kan kun siges at have en række mulige positioner, som er beskrevet i form af sandsynligheder af bølgen fungere.
Schrodinger-ligningen definerer bølgefunktionen i kvantemekaniske systemer, og at lære at bruge og fortolke den er en vigtig del af ethvert kursus i kvantemekanik. Et af de enkleste eksempler på en løsning på denne ligning er for en partikel i en kasse.
Bølgefunktionen
I kvantemekanik er en partikel repræsenteret af enbølgefunktion. Dette betegnes normalt med det græske bogstav psi (Ψ) og det afhænger af både position og tid, og det indeholder alt, hvad der kan være kendt om partiklen.
Modulet for denne funktion i kvadrat fortæller dig sandsynligheden for, at partiklen findes i positionxpå tidspunktett, forudsat at funktionen er “normaliseret”. Dette betyder bare justeret, så det med sikkerhed findes på
noglepositionxpå det tidspunkttnår resultaterne på hvert sted opsummeres, dvs. normaliseringsbetingelsen siger, at:\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Du kan bruge bølgefunktionen til at beregne forventningsværdien for en partikels position på tidspunktett, hvor forventningsværdien bare betyder den gennemsnitlige værdi, du får forxhvis du gentog målingen et stort antal gange. Dette betyder selvfølgelig ikke, at det vil være det resultat, du får for en given måling - altsåeffektivttilfældigt, selvom nogle steder normalt er væsentlig mere sandsynlige end andre.
Der er mange andre størrelser, du kan beregne forventningsværdier for, såsom momentum og energiværdier, såvel som mange andre "observerbare".
Schrodinger ligning
Schrodinger-ligningen er en differentialligning, der bruges til at finde værdien for bølgefunktionen og egenstaterne for partikelens energi. Ligningen kan stamme fra energibesparelse og udtryk for en partikels kinetiske og potentielle energi. Den enkleste måde at skrive det på er:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Men herHrepræsentererHamilton-operatør, hvilket i sig selv er et ret langt udtryk:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + V (x)
Her,mer massen, ℏ er Plancks konstant divideret med 2π, ogV (x) er en generel funktion for systemets potentielle energi. Hamiltonian har to forskellige dele - det første udtryk er systemets kinetiske energi og det andet udtryk er den potentielle energi.
Hver observerbar værdi i kvantemekanik er forbundet med en operatør, og i den tidsuafhængige version af Schrodinger-ligningen er Hamiltonian energioperatør. Men i den tidsafhængige version vist ovenfor genererer Hamiltonianen også tidsudviklingen af bølgefunktionen.
Ved at kombinere al information indeholdt i ligningen kan du beskrive udviklingen af partiklen i rum og tid og forudsige de mulige energiværdier for den også.
Den tidsuafhængige Schrodinger-ligning
Den tidsafhængige del af ligningen kan fjernes - for at beskrive en situation, der ikke specielt udvikler sig med tiden - ved at adskille bølgefunktionen i rum- og tidsdele:Ψ(x, t) = Ψ(x) f(t). De tidsafhængige dele kan derefter annulleres ud af ligningen, hvilket efterlader den tidsuafhængige version af Schrodinger-ligningen:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Eer systemets energi. Dette har den nøjagtige form for en egenværdi ligning medΨ(x) er egenfunktionen, ogEer egenværdien, hvorfor den tidsuafhængige ligning ofte kaldes egenværdiligning for energien i et kvantemekanisk system. Tidsfunktionen er simpelthen givet ved:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Den tidsuafhængige ligning er nyttig, fordi det forenkler beregningerne i mange situationer, hvor tidsudvikling ikke er særlig vigtig. Dette er den mest nyttige form til problemer med "partikel i en kasse" og endda til bestemmelse af energiniveauerne for elektroner omkring et atom.
Partikel i en kasse (uendelig firkantet brønd)
En af de enkleste løsninger til den tidsuafhængige Schrodinger-ligning er for en partikel i en uendelig dyb firkantet brønd (dvs. en uendelig potentiel brønd) eller en endimensionel kasse med base længdeL. Selvfølgelig er dette teoretiske idealiseringer, men det giver en grundlæggende idé om, hvordan du løser Schrodinger-ligningen uden at tage højde for mange af de komplikationer, der findes i naturen.
Med den potentielle energi indstillet til 0 uden for brønden, hvor sandsynlighedstætheden også er 0, bliver Schrodinger-ligningen for denne situation:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
Og den generelle løsning til en ligning af denne form er:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
At se på randbetingelserne kan dog hjælpe med at indsnævre dette. Tilx= 0 ogx= L, dvs. siderne af kassen eller væggene i brønden, bølgefunktionen skal gå til nul. Cosinus-funktionen har en værdi på 1, når argumentet er 0, så for at randbetingelserne skal være opfyldt, konstantenBskal være lig med nul. Dette efterlader:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
Du kan også bruge randbetingelserne til at indstille en værdi fork. Da syndefunktionen går til nul ved værdiernπ, hvor kvantetaln= 0, 1, 2, 3... og så videre, det betyder hvornårx = L, ligningen fungerer kun, hvisk = nπ / L. Endelig kan du bruge det faktum, at bølgefunktionen skal normaliseres for at finde værdien afEN(integrer på tværs af alle muligexværdier, dvs. fra 0 tilL, og sæt derefter resultatet lig med 1 og omarranger) for at komme til det endelige udtryk:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Ved hjælp af den oprindelige ligning og dette resultat kan du derefter løse forE, som giver:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8 ml ^ 2}
Bemærk, at det faktum, atner i dette udtryk betyder, at energiniveauerne erkvantiseret, så de ikke kan tagenogenværdi, men kun et diskret sæt specifikke energiniveauværdier afhængigt af massen af partiklen og længden af kassen.
Partikel i en kasse (Finite Square Well)
Det samme problem bliver lidt mere kompliceret, hvis den potentielle brønd har en endelig væghøjde. For eksempel, hvis potentialetV (x) tager værdienV0 uden for den potentielle brønd og 0 indeni den kan bølgefunktionen bestemmes i de tre hovedregioner, der er dækket af problemet. Dette er dog en mere involveret proces, så her kan du kun se resultaterne i stedet for at løbe igennem hele processen.
Hvis brønden er vedx= 0 tilx = Ligen, for regionen hvorx<0 løsningen er:
Ψ (x) = Vær ^ {kx}
For regionenx > L, det er:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Hvor
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
For regionen inde i brønden, hvor 0 <x < L, er den generelle løsning:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Hvor
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Du kan derefter bruge randbetingelserne til at bestemme værdierne for konstanterneEN, B, CogDog bemærker, at såvel som at have definerede værdier ved brøndens vægge, skal bølgefunktionen og dens første derivat være kontinuerlig overalt, og bølgefunktionen skal være endelig overalt.
I andre tilfælde, såsom lave kasser, smalle kasser og mange andre specifikke situationer, er der tilnærmelser og forskellige løsninger, du kan finde.