Produktet af to skalære mængder er en skalar, og produktet af en skalar med en vektor er en vektor, men hvad med produktet af to vektorer? Er det en skalar eller en anden vektor? Svaret er, det kunne være enten!
Der er to måder at tage et vektorprodukt på. Den ene er ved at tage deres dot-produkt, som giver en skalar, og det andet er ved at tage deres cross-produkt, som giver en anden vektor. Hvilket produkt der bruges afhænger af det specifikke scenario, og hvilken mængde du prøver at finde.
Korsproduktet af to vektorer giver en tredje vektor, der peger i retningen vinkelret på plan spændt af de to vektorer, og hvis størrelse afhænger af den relative vinkelrethed af de to vektorer.
Definition af krydsproduktet af vektorer
Vi definerer først krydsproduktet af enhedsvektorernejeg, jogk(vektorer af størrelsesorden 1, der peger ix-, y-ogz-komponentretninger for det standard kartesiske koordinatsystem) som følger:
\ fed {i \ gange j} = \ fed {k} \\ \ fed {j \ gange k} = \ fed {i} \\ \ fed {k \ gange i} = \ fed {j} \\ \ fed {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
Bemærk, at disse forhold er antikommutative, dvs. hvis vi skifter rækkefølgen af de vektorer, vi tager produktet af, vender det produktets tegn:
\ fed {j \ gange i} = - \ fed {k} \\ \ fed {k \ gange j} = - \ fed {i} \\ \ fed {i \ gange k} = - \ fed {j}
Vi kan bruge ovenstående definitioner til at udlede formlen for tværproduktet af to tredimensionelle vektorer. Skriv først vektorer-enogbsom følger:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ fed {i} + b_y \ fed {j} + b_z \ fed {k}
Ved at multiplicere de to vektorer får vi:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ fed {k}) \\ = a_xb_x \ fed {i \ gange i} + a_xb_y \ fed {i \ gange j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ gange i} + a_zb_y \ bold {k \ times j} + a_zb_z \ fed {k \ gange k}
Derefter, ved hjælp af enhedsvektorforholdene ovenfor, forenkles dette til:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ fed {i \ gange j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ fed {k \ gange i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ fed {j \ gange k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ fed { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ fed {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ fed {k}
(Bemærk, at de termer, hvis krydsprodukt var 0, er de udtryk, der danner punktproduktet (også kaldet det skalære produkt)!Dette er ikke tilfældigt.)
Med andre ord:
\ bold {a \ gange b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ tekst {hvor} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Størrelsen af krydsproduktet kan findes ved hjælp af Pythagoras sætning.
Tværproduktformlen kan også udtrykkes som determinanten for følgende matrix:
\ bold {a \ gange b} = \ Bigg | \ begynder {matrix} \ fed {i} & \ fed {j} & \ fed {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ ende {matrix} \ Bigg | \\ = \ Big | \ begynder {matrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ text {Hvor determinanten} \ Big | \ begynder {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ Big | = annonce - bc
En anden, ofte meget bekvem formulering af krydsproduktet er (se slutningen af denne artikel for afledningen):
\ fed {a × b} = | \ fed {a} | | \ fed {b} | \ sin (θ) \ fed {n}
Hvor:
- |-en| er størrelsen (længden) af vektoren-en
- |b| er størrelsen (længden) af vektorenb
- θ er vinklen mellem -enog b
- ner enhedsvektoren vinkelret på det plan, der er spændt med -enogb
Vinkelrette vektorer og højrehåndsreglen
I beskrivelsen af krydsproduktet anføres det, at krydsproduktets retning er vinkelret på det plan, der er spændt med vektor-enog vektorb. Men dette efterlader to muligheder: Det kan pegeud afflyet ellerind iflyet spændt af disse vektorer. Virkeligheden er, at vi faktisk kan vælge enten så længe vi er konsistente. Den foretrukne retning valgt af både matematikere og forskere bestemmes dog af noget, der kaldeshøjre håndsregel.
For at bestemme retningen af et vektorkrydsprodukt ved hjælp af højrehåndsreglen skal du pege pegefingeren på din højre hånd i retning af vektoren-enog din langfinger i retning af vektorb. Din tommelfinger peger derefter i retning af tværproduktvektoren.
Nogle gange er disse retninger vanskelige at skildre på et fladt stykke papir, så ofte indgås følgende konventioner:
For at indikere en vektor, der går ind på siden, tegner vi en cirkel med en X i den (tænk på dette som repræsenterer halefjerne på enden af pilen, når du ser det bagfra). For at indikere en vektor, der går i den modsatte retning ud af siden, tegner vi en cirkel med en prik i den (tænk på dette som spidsen af pilen, der peger ud fra siden).
•••na
Egenskaber ved krydsproduktet
Følgende er flere egenskaber ved vektorkrydsproduktet:
\ # \ tekst {1. Hvis} \ fed {a} \ tekst {og} \ fed {b} \ tekst {er parallelle, så er} \ fed {a \ gange b} = 0
\ # \ tekst {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ tekst {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ tekst {4. } (c \ bold {a) \ times b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ tekst {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Hvor} \ fed {a \ cdot (b \ gange c}) = \ Bigg | \ begynder {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ slut {matrix } \ Bigg |
Geometrisk fortolkning af krydsproduktet
Når vektorkrydsproduktet er formuleret i form af sin (θ), kan dets størrelse fortolkes som repræsenterende arealet af parallelogrammet, der er spændt af de to vektorer. Dette er fordi fora × b, |b| sin (θ) = parallelogramogrammets højde, som vist, og |-en| er basen.
•••Dana Chen | Videnskabelig
Størrelsen af det tredobbelte produkta (b × c) kan igen tolkes som volumenet af parallelepiped spændt af vektorerne-en, bogc. Dette er fordi(b × c) giver en vektor, hvis størrelse er det område, der strækkes af vektorenbog vektorc, og hvis retning er vinkelret på dette område. Tager prikproduktet af vektoren-enmed dette resultat multiplicerer i det væsentlige basisarealet gange højden.
Eksempler
Eksempel 1:Kraften på en ladningspartikelqbevæger sig med hastighedvi magnetfeltBer givet af:
\ bold {F} = q \ fed {v \ gange B}
Antag, at en elektron passerer gennem et 0,005 T magnetfelt med en hastighed på 2 × 107 Frk. Hvis den passerer vinkelret gennem marken, er den kraft, den vil føle:
\ fed {F} = q \ fed {v \ gange B} = qvB \ sin (\ theta) \ fed {n} = (-1,602 \ gange 10 ^ {19}) (2 \ gange 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ fed {n} = -1,602 \ gange 10 ^ {- 14} \ tekst {N} \ fed {n}
Men hvis elektronen bevæger sig parallelt med feltet, så er θ = 0 og sin (0) = 0, hvilket gør kraften 0.
Bemærk, at for elektronen, der passerer lodret gennem feltet, vil denne kraft få den til at bevæge sig i en cirkulær sti. Radien af denne cirkulære sti kan findes ved at indstille den magnetiske kraft lig med den centripetale kraft og løse radiusr:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ betyder r = \ frac {mv} {qB}
For eksemplet ovenfor giver tilslutning af tallene en radius på ca. 0,0227 m.
Eksempel 2:Det fysiske størrelsesmoment beregnes også ved hjælp af et vektor-krydsprodukt. Hvis en styrkeFpåføres et objekt i positionrfra drejepunktet, drejningsmomentetτom omdrejningspunktet er givet af:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ gange F}
Overvej situationen, hvor en 7 N kraft påføres i en vinkel med enden af en 0,75 stang, hvis anden ende er fastgjort til en drejning. Vinklen mellemrogFer 70 grader, så drejningsmomentet kan beregnes:
\ bold {\ tau} = \ fed {r \ gange F} = rF \ sin (\ theta) = (0,75) (7) \ sin (70) \ fed {n} = 4,93 \ tekst {Nm} \ fed { n}
Momentets retning,n, findes via højre håndregel. Hvis det anvendes på billedet ovenfor, giver dette en retning, der kommer ud af siden eller skærmen. Generelt vil et drejningsmoment, der anvendes på en genstand, få objektet til at rotere. Momentvektoren vil altid ligge i samme retning som rotationsaksen.
Faktisk kan en forenklet højrehåndsregel bruges i denne situation: Brug din højre hånd til at "gribe" rotationsaksen i sådan at dine fingre krøller rundt i den retning, det tilknyttede drejningsmoment vil få objektet til at rotere. Din tommelfinger peger derefter i retning af momentvektoren.
Afledning af tværproduktformel
\ text {Her viser vi, hvordan formlen på tværs af produkter} \ fed {a × b} = | \ fed {a} | | \ fed {b} | \ sin (θ) \ fed {n} \ tekst {kan udledes.}
Overvej to vektorer-enogbmed vinkelθmellem dem. En højre trekant kan dannes ved at tegne en linje fra spidsen af vektoren-entil et vinkelret kontaktpunkt på vektorenb.
Ved hjælp af Pythagoras sætning får vi følgende forhold:
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ fed {a} | ^ 2
\ text {Hvor} \ Stor (\ frac {\ fed {a \ cdot b}} {| \ fed {b} | ^ 2} \ Stor) \ fed {b} \ tekst {er projektionen af vektor} \ fed {a} \ tekst {på vektor} \ fed {b}.
Forenkling af udtrykket lidt får vi følgende:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
Derefter multipliceres begge sider af ligningen med |b|2 og flyt den første periode til højre for at få:
| \ fed {a} | ^ 2 | \ fed {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ fed {a} | ^ 2 | \ fed {b} | ^ 2 - | \ fed { a \ cdot b} | ^ 2
Arbejde med højre side, multiplicere alt ud og forenkle derefter:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z - a_yb_z (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ fed {a \ gange b} | ^ 2
Ved at indstille resultatet lig med venstre side af den forrige ligning får vi følgende forhold:
| \ fed {a \ gange b} | = | \ fed {a} || \ fed {b} || \ sin (\ theta) |
Dette viser os, at størrelsesorden er den samme i formlen, så den sidste ting at gøre for at bevise formlen er at vise, at retningerne også er de samme. Dette kan gøres ved blot at tage prikprodukterne fra-enmeda × bogbmeda × bog viser, at de er 0, hvilket antyder, at retningen afa × b er vinkelret på begge dele.