Schrodinger-ligningen er den mest grundlæggende ligning i kvantemekanik, og det er afgørende for enhver spirende fysiker at lære at bruge den, og hvad den betyder. Ligningen er opkaldt efter Erwin Schrödinger, der vandt Nobelprisen sammen med Paul Dirac i 1933 for deres bidrag til kvantefysik.
Schrodingers ligning beskriver bølgefunktionen i et kvantemekanisk system, som giver sandsynlige oplysninger om placeringen af en partikel og andre observerbare størrelser såsom dens momentum. Det vigtigste, du vil indse ved kvantemekanik efter at have lært om ligningen, er at lovene i kvanteområdet ermeget anderledesfra klassisk mekanik.
Bølgefunktionen
Bølgefunktionen er et af de vigtigste begreber i kvantemekanik, fordi hver partikel er repræsenteret af en bølgefunktion. Det får typisk det græske bogstav psi (Ψ), og det afhænger af position og tid. Når du har et udtryk for en partikels bølgefunktion, fortæller det dig alt, hvad du kan vide om det fysiske system, og forskellige værdier for observerbare størrelser kan opnås ved at anvende en operatør til det.
Kvadratet af bølgefunktionens modul fortæller dig sandsynligheden for at finde partiklen i en positionxpå et givet tidspunktt. Dette er kun tilfældet, hvis funktionen er "normaliseret", hvilket betyder, at summen af kvadratmodulet over alle mulige placeringer skal være lig med 1, dvs. at partiklen erbestemteat være placeretet eller andet sted.
Bemærk, at bølgefunktionen kun giver sandsynlighedsoplysninger, og så du ikke kan forudsige resultatet af en observation, selvom dukanbestem gennemsnittet over mange målinger.
Du kan bruge bølgefunktionen til at beregne“Forventningsværdi”for positionen af partiklen på tidspunktett, hvor forventningsværdien er den gennemsnitlige værdi afxdu ville få, hvis du gentog målingen mange gange.
Igen fortæller dette dig ikke noget om en bestemt måling. Faktisk er bølgefunktionen mere sandsynlighedsfordeling for en enkelt partikel end noget konkret og pålideligt. Ved at bruge den rette operator kan du også opnå forventningsværdier for momentum, energi og andre observerbare størrelser.
Schrodinger-ligningen
Schrodinger-ligningen er lineær delvis differentialligning, der beskriver udviklingen af a kvantetilstand på samme måde som Newtons love (især den anden lov) i klassisk mekanik.
Schrodinger-ligningen er imidlertid en bølgeligning for bølgefunktionen for den pågældende partikel, og derfor er brugen af ligningen til at forudsige den fremtidige tilstand af et system kaldes undertiden "bølgemekanik." Ligningen stammer fra energibesparelsen og er bygget op omkring en operatør kaldet Hamiltonian.
Den enkleste form for Schrodinger-ligningen at nedskrive er:
H Ψ = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Hvor ℏ er den reducerede Plancks konstant (dvs. konstanten divideret med 2π) ogHer den Hamilton-operatør, der svarer til summen af kvantesystemets potentielle energi og kinetiske energi (total energi). Hamiltonian er dog et ret langt udtryk, så den fulde ligning kan skrives som:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
At bemærke, at den første delvise afledte undertiden (for eksplicit tredimensionelle problemer) skrives som den laplaciske operator ∇2. I det væsentlige handler Hamiltonian på bølgefunktionen for at beskrive dens udvikling i rum og tid. Men i den tidsuafhængige version af ligningen (dvs. når systemet ikke afhænger aft), Hamiltonian giver systemets energi.
At løse Schrodinger-ligningen betyder at findekvantemekanisk bølgefunktionder tilfredsstiller det i en bestemt situation.
Den tidsafhængige Schrodinger-ligning
Den tidsafhængige Schrodinger-ligning er versionen fra det foregående afsnit, og den beskriver udviklingen af bølgefunktionen for en partikel i tid og rum. En simpel sag at overveje er en fri partikel, fordi den potentielle energiV= 0, og opløsningen har form af en plan bølge. Disse løsninger har formen:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Hvork = 2π / λ, λer bølgelængden, ogω = E / ℏ.
I andre situationer beskriver den potentielle energidel af den oprindelige ligning randbetingelser for rumlige del af bølgefunktionen, og den adskilles ofte i en tidsudviklingsfunktion og en tidsuafhængig ligning.
Den tidsuafhængige Schrodinger-ligning
For statiske situationer eller løsninger, der danner stående bølger (såsom den potentielle brønd, "partikel i en kasse" -stil løsninger), kan du adskille bølgefunktionen i tids- og rumdele:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Når du gennemgår dette fuldt ud, kan tidsdelen annulleres, hvilket efterlader en form for Schrodinger-ligningenkunafhænger af partikelens position. Den tidsuafhængige bølgefunktion gives derefter af:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
HerEer energien i det kvantemekaniske system, ogHer den Hamiltonian operatør. Denne form for ligningen tager den nøjagtige form af en egenværdiligning med bølgefunktionen være egenfunktionen, og energien er egenværdien, når den Hamilton-operatør anvendes til det. Udvidelse af Hamiltonian til en mere eksplicit form kan den skrives fuldt ud som:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Tidsdelen af ligningen er indeholdt i funktionen:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Løsninger til den tidsuafhængige Schrodinger-ligning
Den tidsuafhængige Schrodinger-ligning egner sig godt til ret enkle løsninger, fordi den trimmer ned i ligningens fulde form. Et perfekt eksempel på dette er gruppen "partikler i en kasse" af løsninger, hvor partiklen antages at have et uendeligt kvadratpotentiale i en dimension, så der er nul potentiale (dvs.V= 0) igennem, og der er ingen chance for, at partiklen findes uden for brønden.
Der er også en endelig firkantet brønd, hvor potentialet ved "væggene" i brønden ikke er uendeligt, og selvom det er højere end partikelens energi, er dernoglemulighed for at finde partiklen uden for den på grund af kvantetunnel. For det uendelige potentiale er løsningerne i form:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
HvorLer længden af brønden.
Et delta-funktionspotentiale er et meget lignende koncept med potentialebrønden undtagen med breddenLgår til nul (dvs. er uendelig omkring et enkelt punkt) og dybden af brønden går til uendelig, mens produktet af de to (U0) forbliver konstant. I denne meget idealiserede situation er der kun en bundet tilstand givet af:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
Med energi:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Brintatomløsning til Schrodinger-ligningen
Endelig har hydrogenatomopløsningen åbenlyse anvendelser til den virkelige fysik, men i praksis situationen for en elektron omkring kernen i et hydrogenatom kan ses som temmelig magen til den potentielle brønd problemer. Situationen er imidlertid tredimensionel og kan bedst beskrives i sfæriske koordinaterr, θ, ϕ. Løsningen i dette tilfælde er givet ved:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
HvorPer Legendre polynomierne,Rer specifikke radiale løsninger, ogNer en konstant, du løser ved hjælp af det faktum, at bølgefunktionen skal normaliseres. Ligningen giver energiniveauer givet af:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
HvorZher er atomnummeret (såZ= 1 for et hydrogenatom),ei dette tilfælde er ladningen af en elektron (snarere end konstantene = 2.7182818...), ϵ0 er permittiviteten for frit rum, ogμer den reducerede masse, som er baseret på masserne af protonen og elektronen i et hydrogenatom. Dette udtryk er godt for ethvert hydrogenlignende atom, hvilket betyder enhver situation (inklusive ioner), hvor der er en elektron, der kredser om en central kerne.