At løse mysterierne ved elektromagnetisme har været en af de hidtil største fysiske præstationer, og de lærte erfaringer er fuldt indkapslet i Maxwells ligninger.
James Clerk Maxwell giver sit navn til disse fire elegante ligninger, men de er kulminationen på årtiers arbejde fra mange fysikere, herunder Michael Faraday, Andre-Marie Ampere og Carl Friedrich Gauss - som giver deres navne til tre af de fire ligninger - og mange andre. Mens Maxwell kun selv tilføjede et udtryk til en af de fire ligninger, havde han fremsynet og forståelsen saml det allerbedste af det arbejde, der var udført om emnet, og præsenter dem på en måde, der stadig bruges af fysikere i dag.
I mange, mange år troede fysikere, at elektricitet og magnetisme var separate kræfter og forskellige fænomener. Men gennem det eksperimentelle arbejde af mennesker som Faraday blev det mere og mere klart, at de faktisk var to sider af samme fænomen, og Maxwells ligninger præsenterer dette samlede billede, der stadig er lige så gyldigt i dag som det var i det 19. århundrede. Hvis du skal studere fysik på højere niveauer, skal du absolut kende Maxwells ligninger og hvordan du bruger dem.
Maxwells ligninger
Maxwells ligninger er som følger, både i den differentielle form og den integrale form. (Bemærk, at mens viden om differentialligninger er nyttig her, er en konceptuel forståelse mulig også uden den.)
Gauss 'lov for elektricitet
Differentiel form:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Integreret form:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Ingen monopolret / Gauss 'lov for magnetisme
Differentiel form:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Integreret form:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Faradays lov om induktion
Differentiel form:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Integreret form:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Ampere-Maxwell Law / Ampere's Law
Differentiel form:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Integreret form:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Symboler brugt i Maxwells ligninger
Maxwells ligninger bruger et stort stort udvalg af symboler, og det er vigtigt, at du forstår, hvad disse betyder, hvis du vil lære at anvende dem. Så her er en nedgang i betydningen af de anvendte symboler:
B= magnetfelt
E= elektrisk felt
ρ= elektrisk ladetæthed
ε0= permittivitet af ledig plads = 8.854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 EN2
q= samlet elektrisk ladning (nettosummen af positive ladninger og negative ladninger)
𝜙B = magnetisk flux
J= strømtæthed
jeg= elektrisk strøm
c= lysets hastighed = 2.998 × 108 Frk
μ0 = permeabilitet af ledig plads = 4π × 10−7 Ikke relevant2
Derudover er det vigtigt at vide, at ∇ er deloperatoren, en prik mellem to størrelser (x ∙ Y) viser et skalarprodukt, et fed skrift multiplikationssymbol mellem to størrelser er et vektorprodukt (x × Y), at deloperatoren med en prik kaldes "divergens" (f.eks. ∇ ∙ x= divergens afx= divx) og en deloperator med et skalarprodukt kaldes krøllen (f.eks. ∇× Y= krølle afY= krølleY). Endelig blevENi dENbetyder overfladearealet på den lukkede overflade, du beregner for (undertiden skrevet som dS), ogsi dser en meget lille del af grænsen for den åbne overflade, du beregner for (selvom dette undertiden er dl, der henviser til en uendelig lille linjekomponent).
Afledning af ligningerne
Den første ligning af Maxwells ligninger er Gauss 'lov, og det hedder, at nettoelektrisk strømning gennem a lukket overflade er lig med den samlede ladning indeholdt i formen divideret med permittiviteten for fri plads. Denne lov kan afledes af Coulombs lov efter at have taget det vigtige skridt til at udtrykke Coulombs lov med hensyn til et elektrisk felt og den virkning det ville have på en testladning.
Den anden af Maxwells ligninger svarer i det væsentlige til udsagnet om, at "der er ingen magnetiske monopol." Det hedder at nettomagnetstrømmen gennem en lukket overflade altid vil være 0, fordi magnetfelter altid er resultatet af a dipol. Loven kan afledes af Biot-Savart-loven, der beskriver magnetfeltet produceret af et nuværende element.
Den tredje ligning - Faradays lov om induktion - beskriver, hvordan et skiftende magnetfelt frembringer en spænding i en ledning eller leder. Det stammer oprindeligt fra et eksperiment. I betragtning af resultatet, at en skiftende magnetisk flux inducerer en elektromotorisk kraft (EMF eller spænding) og derved en elektrisk strøm i en trådsløjfe, og det faktum, at EMF er defineret som linieintegret i det elektriske felt omkring kredsløbet, er loven let at sætte sammen.
Den fjerde og sidste ligning, Ampere's lov (eller Ampere-Maxwell-loven for at give ham kredit for hans bidrag) beskriver, hvordan et magnetfelt genereres af en bevægelig ladning eller en elektrisk, der skifter Mark. Loven er resultatet af eksperimentet (og så - som alle Maxwells ligninger - var ikke rigtig "afledt" i traditionel forstand), men ved hjælp afStokes 'sætninger et vigtigt skridt i at få det grundlæggende resultat i den form, der bruges i dag.
Eksempler på Maxwells ligninger: Gauss 'lov
For at være ærlig, især hvis du ikke lige er oppe i din vektorberegning, ser Maxwells ligninger ganske skræmmende ud på trods af hvor relativt kompakte de alle er. Den bedste måde at virkelig forstå dem på er at gennemgå nogle eksempler på brug af dem i praksis, og Gauss 'lov er det bedste sted at starte. Gauss 'lov er i det væsentlige en mere grundlæggende ligning, der udfører jobbet med Coulombs lov, og det er det ret let at udlede Coulombs lov fra det ved at overveje det elektriske felt produceret af et punkt oplade.
Ringer til afgiftenq, nøglepunktet for at anvende Gauss 'lov er at vælge den rigtige "overflade" til at undersøge den elektriske strømning igennem. I dette tilfælde fungerer en kugle godt, som har overfladearealEN = 4πr2, fordi du kan centrere kuglen på punktopladningen. Dette er en enorm fordel ved at løse problemer som denne, for så behøver du ikke at integrere et varierende felt på tværs af overfladen; feltet vil være symmetrisk omkring punktladningen, og så vil det være konstant over kuglens overflade. Så den integrerede form:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Kan udtrykkes som:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Bemærk, atEfor det elektriske felt er blevet erstattet med en simpel størrelse, fordi feltet fra en punktladning simpelthen spredes ligeligt i alle retninger fra kilden. Nu deler man sig med kuglens overfladeareal:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Da kraften er relateret til det elektriske felt vedE = F/q, hvorqer en testafgift,F = qE, også:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Hvor abonnementerne er tilføjet for at differentiere de to afgifter. Dette er Coulombs lov angivet i standardform, vist at være en simpel konsekvens af Gauss 'lov.
Eksempler på Maxwells ligninger: Faradays lov
Faradays lov giver dig mulighed for at beregne den elektromotoriske kraft i en trådsløjfe, der skyldes et skiftende magnetfelt. Et simpelt eksempel er en trådsløjfe med radiusr= 20 cm, i et magnetfelt, der stiger i størrelse fraBjeg = 1 T tilBf = 10 T i løbet af ∆t= 5 s - hvad er den inducerede EMF i dette tilfælde? Den integrerede form for loven involverer strømmen:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
som er defineret som:
ϕ = BA \ cos (θ)
Den centrale del af problemet her er at finde hastigheden for ændring af flux, men da problemet er ret ligetil, kan du erstatte delderivatet med en simpel “ændring i” hver størrelse. Og integralet betyder egentlig bare den elektromotoriske kraft, så du kan omskrive Faradays induktionslov som:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Hvis vi antager, at trådsløjfen har sin normale justering med magnetfeltet,θ= 0 ° og så cos (θ) = 1. Dette efterlader:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
Problemet kan derefter løses ved at finde forskellen mellem det oprindelige og endelige magnetfelt og sløjfens område som følger:
\ begin {align} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0.2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0.23 \ text {V } \ end {justeret}
Dette er kun en lille spænding, men Faradays lov anvendes uanset på samme måde.
Eksempler på Maxwells ligninger: Ampere-Maxwell Law
Ampere-Maxwell-loven er den sidste af Maxwells ligninger, som du skal bruge regelmæssigt. Ligningen vender tilbage til Ampere's lov i fravær af et skiftende elektrisk felt, så dette er det nemmeste eksempel at overveje. Du kan bruge den til at udlede ligningen for et magnetfelt, der skyldes en lige ledning, der bærer en strømjeg, og dette grundlæggende eksempel er nok til at vise, hvordan ligningen bruges. Den fulde lov er:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Men uden at ændre det elektriske felt reduceres det til:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Som med Gauss 'lov, hvis du vælger en cirkel til overfladen centreret på trådsløjfen, antyder intuition, at det resulterende magnetfelt vil være symmetrisk, og så du kan erstatte integralet med et simpelt produkt af sløjfens omkreds og magnetfeltstyrken, forlader:
B × 2πr = μ_0 I
Opdeler med 2πrgiver:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Hvilket er det accepterede udtryk for magnetfeltet på afstandrresultatet af en lige ledning, der bærer en strøm.
Elektromagnetiske bølger
Da Maxwell samlede sit sæt ligninger, begyndte han at finde løsninger på dem for at hjælpe med at forklare forskellige fænomener i den virkelige verden, og den indsigt, det gav i lyset, er et af de vigtigste resultater han opnået.
Fordi et skiftende elektrisk felt genererer et magnetfelt (ved Ampere's lov) og et skiftende magnetfelt genererer et elektrisk felt (ifølge Faradays lov), Maxwell udarbejdede, at en selvformerende elektromagnetisk bølge muligvis muligt. Han brugte sine ligninger til at finde den bølgeligning, der ville beskrive en sådan bølge, og fastslog, at den ville bevæge sig med lysets hastighed. Dette var et slags "eureka" øjeblik; han indså, at lys er en form for elektromagnetisk stråling, der fungerer ligesom det felt, han forestillede sig!
En elektromagnetisk bølge består af en elektrisk feltbølge og en magnetfeltbølge, der oscillerer frem og tilbage, justeret vinkelret på hinanden. Svingningen af den elektriske del af bølgen genererer magnetfeltet, og svingningen af denne del skaber igen et elektrisk felt igen og igen, når den bevæger sig gennem rummet.
Som enhver anden bølge har en elektromagnetisk bølge en frekvens og en bølgelængde, og produktet af disse er altid lig medc, lysets hastighed. Elektromagnetiske bølger er overalt omkring os, og såvel som synligt lys kaldes andre bølgelængder almindeligvis radiobølger, mikrobølger, infrarøde, ultraviolette, røntgenstråler og gammastråler. Alle disse former for elektromagnetisk stråling har den samme grundform som forklaret af Maxwells ligninger, men deres energier varierer med frekvens (dvs. en højere frekvens betyder en højere energi).
Så for en fysiker var det Maxwell, der sagde: "Lad der være lys!"