Trigonometri kan føles som et ganske abstrakt emne. Arcane udtryk som "synd" og "cos" synes bare ikke at svare til noget i virkeligheden, og det er svært at få fat på dem som begreber. Enhedens cirkel hjælper i det væsentlige med dette og tilbyder en ligetil forklaring på, hvad de tal, du får, når du tager sinus, cosinus eller tangens i en vinkel. For alle studerende inden for naturfag eller matematik kan forståelse af enhedscirklen virkelig cementere din forståelse af trigonometri og hvordan du bruger funktionerne.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
En enhedscirkel har en radius på en. Forestil dig enxykoordinatsystem, der starter i midten af denne cirkel. Punktvinklerne måles fra er hvorx= 1 ogy= 0, på højre side af cirklen. Vinklerne øges, når du bevæger dig mod uret.
Brug af denne ramme ogytily-koordinere ogxtilx-koordinat af punktet på cirklen:
syndθ = y
cosθ = x
Og følgelig:
tanθ = y / x
Hvad er enhedens cirkel?
En "enhedscirkel" har en radius på 1. Med andre ord er afstanden fra centrum af cirklen til en hvilken som helst del af kanten altid 1. Måleenheden betyder ikke rigtig noget, fordi det vigtigste ved enhedscirklen er, at det gør mange ligninger og beregninger meget enklere.
Det tjener også som et nyttigt grundlag for at se på definitionerne af vinkler. Forestil dig, at midten af cirklen sidder i midten af et koordinatsystem med enx-aks løber vandret og ay-aks løber lodret. Cirklen krydserx-akse vedx = 1, y= 0. Forskere og matematikere definerer vinklen fra det punkt, der bevæger sig mod uret. Så pointenx =1, y= 0 på cirklen er i en vinkel på 0 °.
Definitionerne af synd og cos med enhedens cirkel
De almindelige definitioner af synd, cos og tan givet til studerende vedrører trekanter. De siger:
\ sin θ = \ frac {\ text {modsat}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {tilstødende}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Det "modsatte" refererer til længden af siden af trekanten modsat vinklen, "tilstødende" henviser til længden af siden ved siden af vinklen og "hypotenuse" henviser til længden af den diagonale side af trekant.
Forestil dig at oprette en trekant, så hypotenusen altid var enhedens cirkel med et hjørne ved kanten af cirklen og et i midten. Dette betyder, at hypotenuse = 1 i ligningerne ovenfor, så de to første bliver:
\ sin θ = \ frac {\ text {modsat}} {1} = \ tekst {modsat} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {tilstødende}} {1} = \ tekst {tilstødende} \\
Hvis du laver den pågældende vinkel den ene i midten af cirklen, er det modsatte bare deny-koordinere og den tilstødende er bare denx-koordinat af det punkt på cirklen, der rører trekanten. Med andre ord returnerer syndy-koordinere på enhedens cirkel (ved hjælp af koordinater, der starter i midten) for en given vinkel og cos returnererx-koordinere. Dette er grunden til, at cos (0) = 1 og sin (0) = 0, fordi det på dette tidspunkt er koordinaterne. Ligeledes cos (90) = 0 og sin (90) = 1, fordi dette er punktet medx= 0 ogy= 1. I ligningsform:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Negative vinkler er også lette at forstå på baggrund af dette. De negative vinkler (målt med uret fra startpunktet) har de sammexkoordinere som den tilsvarende positive vinkel, så:
\ cos -θ = \ cos θ
Men deny-koordinatkontakter, hvilket betyder det
\ sin -θ = - \ sin θ
Definitionen af tan med enhedens cirkel
Definitionen af tan givet ovenfor er:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Men med enhedscirkeldefinitionerne af synd og cos kan du se, at dette svarer til:
\ tan θ = \ frac {\ text {modsat}} {\ text {tilstødende}}
Eller tænker i form af koordinater:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Dette forklarer, hvorfor tan er udefineret i 90 ° eller -270 ° og 270 ° eller -90 ° (hvorx= 0), fordi du ikke kan dele med nul.
Graftegning af trigonometriske funktioner
Tegning af sin eller cos bliver lettere, når du tænker på enhedens cirkel. Detx-koordinater varierer jævnt, når du bevæger dig rundt i cirklen, starter ved 1 og falder til et minimum på -1 ved 180 ° og derefter øges på samme måde. Sinfunktionen gør det samme, men den stiger først til en maksimumsværdi på 1 ved 90 °, før den følger det samme mønster. De to funktioner siges at være 90 ° ude af "fase" med hinanden.
Graftegning af tan kræver opdelingyvedx, og så er det mere kompliceret at tegne og har også punkter, hvor det er udefineret.