Mestring af begreberne sinus og cosinus er en integreret del af trigonometri. Men når du først har disse ideer, bliver de byggestenene til andre nyttige værktøjer i trigonometri og senere beregning. For eksempel er "cosinusloven" en speciel formel, som du kan bruge til at finde den manglende side af en trekant, hvis du kender længden af de to andre sider plus vinklen mellem dem, eller for at finde vinklerne i en trekant, når du kender alle tre sider.
Loven om kosinus
Loven om cosinus findes i flere versioner, afhængigt af hvilke vinkler eller sider af trekanten du har at gøre med:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
I hvert tilfælde,-en, bogcer siderne af en trekant, ogEN, B, ellerCer vinklen modsat siden af det samme bogstav. SåENer vinklen modsat sidea, Ber vinklen modsat sidebogCer vinklen modsat sidec. Dette er den form for ligningen, du bruger, hvis du finder længden på en af trekantssiderne.
Loven om cosinus kan også omskrives i versioner, der gør det lettere at finde en af trekantens tre vinkler, forudsat at du kender længderne på alle tre af trekantens sider:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Løsning for en side
For at bruge loven om cosinus til at løse siden af en trekant har du brug for tre stykker information: længderne på trekants andre to sider plus vinklen mellem dem. Vælg den version af formlen, hvor den side, du vil finde, er til venstre for ligningen, og de oplysninger, du allerede har, er til højre. Så hvis du vil finde længden på siden-en, bruger du versionen
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Udskift værdierne for de to kendte sider og vinklen mellem dem i formlen. Hvis din trekant har kendte siderbogcder måler henholdsvis 5 enheder og 6 enheder, og vinklen mellem dem måler 60 grader (som muligvis også kan udtrykkes i radianer som π / 3), ville du have:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Brug en tabel eller din lommeregner til at slå op på cosinusværdien; i dette tilfælde er cos (60) = 0,5, hvilket giver dig ligningen:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Forenkle resultatet af trin 2. Dette giver dig:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
Hvilket igen forenkler til:
a ^ 2 = 31
Tag kvadratroden på begge sider for at afslutte løsningen på-en. Dette efterlader dig med:
a = \ sqrt {31}
Mens du kunne bruge et diagram eller din lommeregner til at estimere værdien af √31 (det er 5.568), får du ofte - og endda opfordret - til at lade svaret være i sin mere præcise radikale form.
Løser for en vinkel
Du kan anvende den samme proces for at finde en hvilken som helst af trekantsvinklerne, hvis du kender alle tre af dens sider. Denne gang vælger du den version af formlen, der placerer den manglende eller "ved ikke det" -vinklen på venstre side af ligetegnet. Forestil dig, at du vil finde mål for vinkel C (som, husk, er defineret som den modsatte vinkelc). Du bruger denne version af formlen:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Udskift de kendte værdier - i denne type problemer betyder det længderne på alle tre af trekantsiden - i ligningen. Lad et eksempel være siderne af din trekant-en= 3 enheder,b= 4 enheder ogc= 25 enheder. Så din ligning bliver:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Når du har forenklet den resulterende ligning, har du:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
eller simpelthen cos (C) = 0.
Beregn det inverse cosinus eller buecosinus på 0, ofte noteret som cos-1(0). Eller med andre ord, hvilken vinkel har en cosinus på 0? Der er faktisk to vinkler, der returnerer denne værdi: 90 grader og 270 grader. Men pr. Definition ved du, at hver vinkel i en trekant skal være mindre end 180 grader, så der kun efterlades 90 grader som en mulighed.
Så målingen på din manglende vinkel er 90 grader, hvilket betyder, at du tilfældigvis har at gøre med en ret trekant, selvom denne metode også fungerer med ikke-rigtige trekanter.