En periodisk funktion er en funktion, der gentager sine værdier med regelmæssige intervaller eller "perioder". Tænke på det som et hjerterytme eller den underliggende rytme i en sang: Det gentager den samme aktivitet på et stabilt slag. Grafen for en periodisk funktion ser ud som om et enkelt mønster gentages igen og igen.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
En periodisk funktion gentager sine værdier med regelmæssige intervaller eller "perioder".
Typer af periodiske funktioner
De mest berømte periodiske funktioner er trigonometriske funktioner: sinus, cosinus, tangens, cotangent, secant, cosecant osv. Andre eksempler på periodiske funktioner i naturen inkluderer lysbølger, lydbølger og månefaser. Hver af disse udgør, når de er tegnet på koordinatplanet, et gentaget mønster på det samme interval, hvilket gør det let at forudsige.
Perioden for en periodisk funktion er intervallet mellem to "matchende" punkter på grafen. Med andre ord er det afstanden langsx-at det er nødvendigt, at funktionen skal rejse, før den begynder at gentage sit mønster. De grundlæggende sinus- og cosinusfunktioner har en periode på 2π, mens tangens har en periode på π.
En anden måde at forstå periode og gentagelse af trig-funktioner på er at tænke på dem i form af enhedens cirkel. På enhedscirklen går værdierne rundt og omkring cirklen, når de øges i størrelse. Den gentagne bevægelse er den samme idé, der afspejles i det konstante mønster af en periodisk funktion. Og for sinus og cosinus skal du lave en fuld sti rundt om cirklen (2π), før værdierne begynder at gentages.
Ligning for en periodisk funktion
En periodisk funktion kan også defineres som en ligning med denne form:
f (x + nP) = f (x)
HvorPer perioden (en ikke-nul konstant) ogner et positivt heltal.
For eksempel kan du skrive sinusfunktionen på denne måde:
\ sin (x + 2π) = \ sin (x)
n= 1 i dette tilfælde og perioden,P, for en sinusfunktion er 2π.
Test det ved at prøve et par værdier forx, eller se på grafen: Vælg en hvilken som helstx-værdi, flyt derefter 2π i begge retninger langsx-akse; dety-værdien skal forblive den samme.
Prøv det nu nårn = 2:
\ sin (x + (2 × 2π)) = \ sin (x) \\ \ sin (x + 4π) = \ sin (x)
Beregn for forskellige værdier afx: x = 0, x = π, x= π / 2, eller tjek det på grafen.
Den cotangente funktion følger de samme regler, men dens periode er π radianer i stedet for 2π radianer, så dens graf og ligningen ser sådan ud:
\ barneseng (x + nπ) = \ barneseng (x)
Bemærk, at tangent- og cotangentfunktioner er periodiske, men de er ikke kontinuerlige: Der er "brud" i deres grafer.