Vinkelmoment: Definition, ligning, enheder (med diagrammer og eksempler)

Overvej scenen: Du og en ven står på grund af problemer uden for din kontrol øverst på en lang, skrånende rampe. Hver af jer har fået en kugle nøjagtigt 1 m i radius. Du har fået at vide, at din er lavet af et ensartet, skumlignende materiale og har en masse på 5 kg. Din vens kugle har også en masse på 5 kg, som du bekræfter med en praktisk skala.

Din ven vil satse på dig, at hvis du frigiver de to bolde på samme tid, vil din først komme i bunden. Du er fristet til at argumentere for, at da kuglerne har den samme masse og den samme radius (og dermed volumen), vil de blive accelereret af tyngdekraften ned ad rampen til den samme hastighed i hele nedstigningen. Men noget stopper dit væddemål "momentum", og du tager ikke satsningen ...

... klogt, som det viser sig. Selvom det i første omgang ikke giver mening, bevæger din vens kugle ved alt udseende en tvilling af dig selv langsommere end rampen. Når eksperimentet er slut, kræver du, at kuglerne demonteres og undersøges for tegn på bedrageri. I stedet er alt, hvad du finder, at de 5 kg masse i din vens kugle var begrænset til en tynd skal rundt om ydersiden med det indre hul.

Hvad med den ovenfor beskrevne konfiguration vipper værdien af ​​v i din kugles favør? Som det sker, ligesomkræfterskiftlineært momentumaf genstande medlineær hastighed​, ​drejningsmomenterskiftvinkelmomentaf genstande medVinkelhastighed​.

En stiv rullende genstand har både lineær momentum og vinkelmoment, fordi når dens massecenter bevæger sig med en konstant hastighed v (lige til kuglens eller hjulets tangentielle hastighed), roterer hver anden del af objektet omkring dette massecenter med vinkelhastighed ω.

Hvordan masse fordeles inden i et objekt har ingen indflydelse på dets lineære momentum, men bestemmer dets vinkelmoment udsøgt. Det gør dette gennem en "masselignende" (til rotationsformål) mængde kaldet inertimoment, højere værdier af hvilket både indebærer flere vanskeligheder med at få noget roterende og mere vanskeligt at stoppe det, når det allerede er roterende.

Vinkelmoment er et mål for, hvor svært det er at ændre et objekts rotationsbevægelse. Det afhænger af objektets inertimoment og dets vinkelhastighed. Vinkelmoment er en konserveret størrelse, hvilket betyder, at summen af ​​partiklernes vinkelmoment i et lukket system altid er den samme, selvom den for individuelle partikler kan svinge.

Vinkelmoment er, som bemærket, også en funktion af fordelingen af ​​masse omkring en akse. For at få en intuitiv fornemmelse af dette, forestil dig at stå 1 fod fra centrum af en enorm glædelig runde, der gør en revolution hvert 10. sekund. Forestil dig nu at være på den samme indretning med den samme vinkelhastighed, mens du står 1milfra centrum. Det kræver ikke meget fantasi at forestille sig forskellen i vinkelmoment i disse to scenarier.

​Vinkelmoment er produktet af inertimomentet gange dets vinkelhastighed, eller:
​

hvorL= vinkelmoment i kg ∙ m²/s,jeg= inertimoment i kg ∙ m², og ω = vinkelhastighed i radianer pr. sekund (rad / s).

• ​jegkaldes også det andet øjeblik i området.

Bemærk, at diskussionen er udvidet fra en punktmasse til et fast legeme, såsom en cylinder eller kugle, der roterer omkring en akse. Massepunktet for et objekt er ofte ikke på detgeometriskcenter, så værdier afjegafhænger af, hvordan objektets masse fordeles. Ofte er dette symmetrisk, men ikke ensartet, såsom en hul disk med al dens masse i en tynd strimmel på ydersiden (med andre ord en ring).

Vinkelmomentvektoren peger langs rotationsaksen vinkelret på det plan, der dannes afr, det cirkulære "feje" af ethvert punkt i objektet gennem rummet.

Et referencediagram for værdien afjegfor forskellige almindelige former findes i ressourcerne. Brug disse til at komme i gang med nogle få grundlæggende problemer med vinkelmomentum.

• Noter detjegfor en sfærisk skal er (2/3) mr² mens den for en kugle er (2/5) hr². Når vi går tilbage til satsningen i introduktionen, kan du nu se, at din vens bold har (2/3) / (2/5) = 1,67 gange inerti-øjeblikket som din egen, hvilket forklarer din vinder af "løbet".

1. En disk med rotationsinertijegpå 1,5 kg ∙ m²/ s roterer omkring en akse med en vinkelhastighedωpå 8 rad / s. Hvad er dens vinkelmomentL​?

2. En tynd stang, der er 15 m lang med en masse på 5 kg - hånden af ​​et massivt ur, siger - roterer omkring et punkt, der er fastgjort i den ene ende med en vinkelhastighedωaf 2π rad / 60 s = (π / 30) rad / s. Hvad er dens vinkelmomentL​?

Denne gang skal du slå op på værdien afjeg. For en tynd stang, der bevæger sig på denne måde,jeg= (1/3) mr²​.

Sammenlign dette med svaret i det første eksempel. Overrasker dette dig? Hvorfor eller hvorfor ikke?

”Bevaring” betyder noget, der er lidt anderledes i fysik end det gør i økosystemernes verden. Det betyder simpelthen, at den samlede mængde konserverede mængder (energi, momentum, masse og inerti er de "store fire" konserverede størrelser i fysik) i et system, inklusive universet, forbliver altid samme. Hvis du forsøger at "eliminere" energi, vises den simpelthen i en anden form, og ethvert forsøg på at "skabe" den er afhængig af en allerede eksisterende kilde.

Loven om bevarelse af vinkelmoment siger, at i et lukket system kan den samlede vinkelmoment ikke ændre sig. Da vinkelmoment afhænger af vinkelhastighed og inertimoment, kan man forudsige, hvordan en af ​​disse størrelser derefter skal ændre sig i forhold til hinanden i en given situation.

• Formelt, da drejningsmoment kan udtrykkes somτ= dL/ dt (ændringshastigheden, hvis vinkelmoment med tiden), når summen af ​​momentene i et system er nul, så er dL/ dt skal også være nul, og der er ingen ændring i vinkelmomentet i systemet over den tidsramme, hvor systemet vurderes. Omvendt, hvis L ikke er konstant, indebærer dette en ubalance i drejningsmomenter i systemet (dvs.τ_neterikkelig med nul).

Dette er et vigtigt begreb i mange mekaniske eksempler fra dagligdagen. Et klassisk eksempel er skøjteløberen: Når hun hopper i luften for at lave en tredobbelt aksel, trækker hun lemmerne stramt ind. Dette mindsker hendes samlede radius omkring sin rotationsakse og ændrer hendes massefordeling, så hendes inertimoment falder (husk,jeger proportional med mr²​).

Fordi vinkelmoment bevares, hvisjegfalder, hendes vinkelhastighed skal øges; sådan snurrer hun hurtigt nok til at gennemføre flere rotationer i luften! Når hun lander, gør hun det omvendte - hun spreder sine lemmer ud, ændrer sin massefordeling for at øge sit inertimoment og bremser igen sin rotationshastighed (vinkelhastighed).

Overalt er systemets vinkelmoment konstant, men de variabler, der bestemmer størrelsen af ​​vinkelmomentet, kan manipuleres og med strategisk effekt, som i dette tilfælde.

Fra og med 1600'erne gik Isaac Newton igang med en effektiv revolutionering af matematisk fysik. Efter at have co-opfundet calculus var han godt positioneret til at komme med formelle påstande om de formodentlig universelle love styrer bevægelsen af ​​objekter, både translationelle (lineært og gennem rummet) og roterende (cyklisk og omkring en akse).

• De forskelligebevarelsesloveder får rigelig omtale senere, er ikke Newtons hjernebørn, men der er betydelige forhold mellem disse og bevægelseslove.

​Newtons første lovangiver, at et objekt i hvile eller bevæger sig med konstant hastighed vil forblive i denne tilstand, medmindre en ydre kraft virker på objektet. Dette kaldes ogsåinertiloven.​

​Newtons anden lovhævder, at en nettokraftF_netvirker på en partikel med massem, vil det have tendens til at ændre hastigheden på eller accelerere den masse. Dette berømte forhold udtrykkes matematisk somF_net= m-en​.

​Newtons tredje lovsiger, at for hver kraft, der findes i naturen, findes der en kraft, der er lige stor, men peger i nøjagtig den modsatte retning. Denne lov har vigtige implikationer for bevarede egenskaber ved bevægelse, herunder vinkelmoment.

Nu er det et fremragende tidspunkt at gennemgå karakteren, reglerne og forholdet mellemkraft​, ​momentum(masse gange hastighed) ogenergi, som ikke kun informerer diskussioner om vinkelmoment, men alt andet inden for klassisk fysik.

Som bemærket, medmindre et objekt oplever en ekstern kraft (eller i tilfælde af en roterende genstand, eksternt drejningsmoment), fortsætter dets bevægelse upåvirket. På Jorden er tyngdekraften imidlertid næsten altid i blandingen, ligesom de mindre bidragydere luftmotstand og forskellige former for friktion kræfter, så intet bliver ved med at bevæge sig, medmindre det lejlighedsvis får energi til at erstatte det, der "tages" af disse kroniske "bevægelser tyve. "

For at forenkle har en partikel entotal energibestående afintern energi(fx vibration af dets molekyler) ogmekanisk energi. Mekanisk energi er turn summen afpotentiel energi(PE; "lagret" energi, normalt via tyngdekraften) ogkinetisk energi(KE; bevægelsesenergi). Nyttigt, PE + KE + IE = en konstant for alle systemer, det være sig en punktmasse (enkelt partikel) eller en række hviskende, interagerende masser.

Når du hører udtryk relateret til bevægelse, såsom hastighed, acceleration, forskydning og momentum, antager du sandsynligvis som standard, at konteksten er lineær bevægelse. Rotationsbevægelse har faktisk sine egne unikke, men analoge størrelser.

Mens lineær forskydning måles i meter (m) i SI-enheder, måles vinkelforskydning i radianer (2π rad = 360 grader). Derfor,Vinkelhastighedmåles i rad / s og er repræsenteret afω, det græske bogstav omega.

Imidlertid, når en punktmasse bevæger sig rundt om sin rotationsakse, udover vinkelhastigheden, sporer partiklen en cirkulær sti med en given hastighed svarende til lineær bevægelse. Denne sats ertangentiel hastighed​ ​v_t​​,og er lig med rω,hvorrer radius eller afstand fra rotationsaksen.

Relateretvinkelacceleration​ ​α(Græsk alfa) er hastigheden for ændring af vinkelhastighedenωog måles i rad / s². Der er også encentripetal acceleration​ ​-en_cgivet afv_t²/r,som er rettet indad mod rotationsaksen.

• Mens diskussionen om vinkelmoment er modstykket til mvi lineære termer, vil snart blive grundigt diskuteret, ved at en af ​​dens komponenter,jeg, kan betragtes som en rotationsanalog af masse.

Vinkelmoment, som kraft, forskydning, hastighed og acceleration, er avektor mængde, fordi sådanne variabler inkluderer både astørrelsesorden(dvs. et tal) og aretning, ofte givet udtryk for dets individuelle x-, y- og z-komponenter. Mængder, der kun indeholder et numerisk element, såsom masse, tid, energi og arbejde, er kendt somskalære mængder​.