Beregning af en kugles bane tjener som en nyttig introduktion til nogle nøglebegreber i klassisk fysik, men det har også et stort omfang til at inkludere mere komplekse faktorer. På det mest basale niveau fungerer en kugles bane ligesom en anden projektils bane. Nøglen adskiller hastighedskomponenterne i akserne (x) og (y) og bruger den konstante acceleration på grund af tyngdekraften til at finde ud af, hvor langt kuglen kan flyve, inden den rammer jorden. Du kan dog også inkorporere træk og andre faktorer, hvis du ønsker et mere præcist svar.
Ignorer vindmodstand for at beregne afstanden med en kugle ved hjælp af den enkle formel:
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Hvor (v0x) er dens starthastighed, (h) er den højde, den fyres fra, og (g) er accelerationen på grund af tyngdekraften.
Denne formel indeholder træk:
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
Her er (C) kuglens trækkoefficient, (ρ) er lufttætheden, (A) er kuglens areal, (t) er flyvetiden og (m) er kuglens masse.
Baggrunden: (x) og (y) Komponenter med hastighed
Det vigtigste punkt, du skal forstå, når du beregner baner, er at hastigheder, kræfter eller enhver anden "vektor" (som har en retning såvel som en styrke) kan være opdelt i "komponenter". Hvis noget bevæger sig i en vinkel på 45 grader i forhold til det vandrette, så tænk på det som at bevæge sig vandret med en bestemt hastighed og lodret med en bestemt fart. At kombinere disse to hastigheder og tage deres forskellige retninger i betragtning giver dig objektets hastighed, inklusive både hastighed og deres resulterende retning.
Brug cos og sin-funktionerne til at adskille kræfter eller hastigheder i deres komponenter. Hvis noget bevæger sig med en hastighed på 10 meter pr. Sekund i en vinkel på 30 grader i forhold til det vandrette, er hastigheden x-komponent:
v_x = v \ cos {\ theta} = (10 \ tekst {m / s}) \ cos {30} = 8.66 \ tekst {m / s}
Hvor (v) er hastigheden (dvs. 10 meter pr. Sekund), og du kan placere en hvilken som helst vinkel i stedet for (θ), der passer til dit problem. (Y) -komponenten er givet ved et lignende udtryk:
v_y = v \ sin {\ theta} = (10 \ tekst {m / s}) \ sin {30} = 5 \ tekst {m / s}
Disse to komponenter udgør den oprindelige hastighed.
Grundlæggende baner med de konstante accelerationsligninger
Nøglen til de fleste problemer med baner er, at projektilet holder op med at bevæge sig fremad, når det rammer gulvet. Hvis kuglen fyres fra 1 meter i luften, når accelerationen på grund af tyngdekraften tager den ned 1 meter, kan den ikke rejse længere. Dette betyder, at y-komponenten er den vigtigste ting at overveje.
Ligningen for y-komponentforskydningen er:
y = v_ {0y} t- \ frac {1} {2} gt ^ 2
Subskriptet "0" betyder starthastigheden i (y) retning, (t) betyder tid og (g) betyder accelerationen på grund af tyngdekraften, som er 9,8 m / s2. Vi kan forenkle dette, hvis kuglen fyres perfekt vandret, så den ikke har en hastighed i (y) retning. Dette efterlader:
y = - \ frac {1} {2} gt ^ 2
I denne ligning betyder (y) forskydning fra startpositionen, og vi vil vide, hvor lang tid det tager kuglen at falde fra starthøjden (h). Med andre ord ønsker vi
y = -h = - \ frac {1} {2} gt ^ 2
Som du arrangerer igen for at:
t = \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Dette er tidspunktet for kuglens flyvning. Dens fremadrettede hastighed bestemmer afstanden, den kører, og dette er givet ved:
x = v_ {0x} t
Hvor hastigheden er den hastighed, den efterlader pistolen ved. Dette ignorerer virkningerne af træk for at forenkle matematikken. Ved hjælp af ligningen for (t), der blev fundet for et øjeblik siden, er den tilbagelagte afstand:
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
For en kugle, der affyrer med 400 m / s og er skudt fra 1 meter høj, giver dette:
x = (400 \ tekst {m / s}) \ sqrt {\ frac {2 (1 \ tekst {m})} {9.8 \ tekst {m / s} ^ 2}} = 180,8 \ tekst {m}
Så kuglen bevæger sig omkring 181 meter, inden den rammer jorden.
Indeholder træk
For et mere realistisk svar, bygg træk i ligningerne ovenfor. Dette komplicerer tingene lidt, men du kan beregne det let nok, hvis du finder de nødvendige informationer om din kugle og temperaturen og trykket, hvor den fyres. Ligningen for kraften på grund af træk er:
F_ {drag} = \ frac {-C \ rho Av ^ 2} {2}
Her repræsenterer (C) kuglens trækkoefficient (du kan finde ud af for en bestemt kugle eller bruge C = 0,295 som en generel figur), ρ er lufttætheden (ca. 1,2 kg / kubikmeter ved normalt tryk og temperatur), (A) er tværsnitsarealet for en kugle (du kan regne dette ud for en bestemt kugle eller bare bruge A = 4,8 × 10−5 m2, værdien for en .308 kaliber) og (v) er kuglens hastighed. Endelig bruger du kuglens masse til at omdanne denne kraft til en acceleration, der skal bruges i ligningen, som kan tages som m = 0,016 kg, medmindre du har en bestemt kugle i tankerne.
Dette giver et mere kompliceret udtryk for tilbagelagt afstand i (x) retning:
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
Dette er kompliceret, fordi teknisk set reducerer træk hastigheden, hvilket igen reducerer træk, men du kan forenkle tingene ved blot at beregne træk baseret på den indledende hastighed på 400 m / s. Ved hjælp af en flyvetid på 0,452 s (som før) giver dette:
x = (400 \ tekst {m / s}) (0,452 \ tekst {s}) - \ frac {(0,295) (1,2 \ tekst {kg / m} ^ 3) (4,8 \ times10 ^ {- 5} \ tekst {m} ^ 2) (400 \ tekst {m / s}) ^ 2 (0,452 \ tekst { s}) ^ 2} {2 (0.016 \ text {kg})} \\ = 180.8 \ text {m} - \ frac {0.555 \ text {kgm}} {0.032 \ text {kg}} \\ = 180.8 \ tekst {m} -17.3 \ tekst {m} \\ = 163.5 \ tekst { m}
Så tilføjelsen af træk ændrer estimatet med ca. 17 meter.