Love of Pendulum Motion

Pendler har interessante egenskaber, som fysikere bruger til at beskrive andre objekter. For eksempel følger planetbane et lignende mønster, og det kan føles som om du er på et pendul, hvis du svinger på et svingesæt. Disse egenskaber kommer fra en række love, der styrer pendulets bevægelse. Ved at lære disse love kan du begynde at forstå nogle af de grundlæggende principper for fysik og bevægelse generelt.

Bevægelsen af ​​et pendul kan beskrives ved hjælp af

hvoriθrepræsenterer vinklen mellem strengen og den lodrette linje ned ad midten,trepræsenterer tid ogTer perioden, den tid, der er nødvendig for at en komplet cyklus af pendulets bevægelse skal forekomme (målt ved1 / f) af bevægelsen til et pendul.

​Enkel harmonisk bevægelse, eller bevægelse, der beskriver, hvordan et objekts hastighed svinger proportionalt med forskydningsgraden fra ligevægt, kan bruges til at beskrive ligningen af ​​et pendul. Et penduls bobsvingning holdes i bevægelse af denne kraft, der virker på det, når det bevæger sig frem og tilbage.

•••Syed Hussain Ather

De love, der styrer pendulbevægelse, førte til opdagelsen af ​​en vigtig ejendom. Fysikere opdeler kræfter i en lodret og en vandret komponent. I pendulbevægelse,tre kræfter arbejder direkte på pendulet: bobens masse, tyngdekraften og spændingen i strengen. Masse og tyngdekraft arbejder begge lodret nedad. Da pendulet ikke bevæger sig op eller ned, fjerner den lodrette komponent i strengespændingen massen og tyngdekraften.

Dette viser, at massen af ​​et pendul ikke har nogen relevans for dets bevægelse, men den vandrette strengespænding gør det. Enkel harmonisk bevægelse svarer til cirkulær bevægelse. Du kan beskrive et objekt, der bevæger sig i en cirkulær sti som vist i figuren ovenfor ved at bestemme den vinkel og radius, den tager i dets tilsvarende cirkelbane. Derefter kan du ved hjælp af trigonometrien i den højre trekant mellem cirkelens centrum, objektets position og forskydningen i begge retninger x og y finde ligningerx = rsin (θ)ogy = rcos (θ).​

Den endimensionale ligning af et objekt i simpel harmonisk bevægelse er givet afx = r cos (ωt).Du kan yderligere erstatteENtilrhvoriENeramplitude, den maksimale forskydning fra objektets oprindelige position.

Vinkelhastighedenωmed hensyn til tidtfor disse vinklerθer givet afθ = ωt. Hvis du erstatter ligningen, der relaterer vinkelhastighed til frekvensf​, ​ω = 2​​πf, kan du forestille dig denne cirkulære bevægelse, så som en del af et pendul, der svinger frem og tilbage, så er den resulterende enkle harmoniske bevægelsesligning

•••Syed Hussain Ather

Pendler, som masser på en kilde, er eksempler påenkle harmoniske oscillatorer: Der er en gendannelseskraft, der øges afhængigt af hvor forskudt pendulet er, og deres bevægelse kan beskrives ved hjælp afenkel harmonisk oscillatorligning​

hvoriθrepræsenterer vinklen mellem strengen og den lodrette linje ned ad midten,trepræsenterer tid ogTerperiode, den tid, der er nødvendig for at en komplet cyklus af pendulets bevægelse skal forekomme (målt ved1 / f) af bevægelsen til et pendul.

​θ_makser en anden måde at definere det maksimale, som vinklen svinger under pendulets bevægelse, og er en anden måde at definere pendulets amplitude på. Dette trin forklares nedenfor under afsnittet "Enkel definition af pendul."

En anden implikation af lovene i et simpelt pendul er, at svingningsperioden med konstant længde er uafhængig af objektets størrelse, form, masse og materiale i enden af ​​strengen. Dette vises tydeligt gennem den enkle pendulafledning og de ligninger, der resulterer.

Du kan bestemme ligningen for ensimpelt pendul, den definition, der afhænger af en simpel harmonisk oscillator, fra en række trin, der begynder med ligningen af ​​bevægelse for et pendul. Fordi tyngdekraften i et pendul er lig med kraften i pendulets bevægelse, kan du indstille dem lig med hinanden ved hjælp af Newtons anden lov med en pendelmasseM, strenglængdeL, vinkelθ,tyngdeaccelerationgog tidsintervalt​.

•••Syed Hussain Ather

Du satte Newtons anden lov svarende til inertimomentetJeg = hr²for noget massemog radius af den cirkulære bevægelse (strengens længde i dette tilfælde)rgange vinkelaccelerationα​.

1. ​ΣF = Ma: Newtons anden lov siger, at nettokraftenΣFpå et objekt er lig med objektets masse ganget med acceleration.
2. ​Ma = I α: Dette giver dig mulighed for at indstille kraften af ​​tyngdeacceleration (-Mg sin (θ) L)lig med rotationskraften
   
3. ​-Mg sin (θ) L = I α​: Du kan få retningen for den lodrette kraft på grund af tyngdekraften (-Mg) ved at beregne accelerationen somsin (θ) Lhvissin (θ) = d / L.for en vis vandret forskydningdog vinkelθ​ at redegøre for retningen.
   
4. ​-Mg sin (θ) L = ML² α: Du erstatter ligningen med inertimoment for et roterende legeme ved hjælp af strenglængde L som radius.
   
5. ​-Mg sin (θ) L = -ML²​​d²θ / dt: Redegør for vinkelacceleration ved at erstatte det andet afledte af vinklen med hensyn til tid forα.Dette trin kræver beregning og differentialligninger.
   
6. ​d²θ / dt² + (g / L) sinθ = 0: Du kan få dette ved at omarrangere begge sider af ligningen
   
7. ​d²θ / dt² + (g / L) θ = 0: Du kan tilnærmesynd (θ)somθmed henblik på et simpelt pendul i meget små svingningsvinkler
   
8. ​θ (t) = θ_makscos (t (L / g)²): Bevægelsesligningen har denne løsning. Du kan verificere det ved at tage det andet afledte af denne ligning og arbejde på at få trin 7.

Der er andre måder at lave en simpel pendulafledning. Forstå betydningen bag hvert trin for at se, hvordan de er relaterede. Du kan beskrive en simpel pendulbevægelse ved hjælp af disse teorier, men du skal også tage andre faktorer i betragtning, der kan påvirke simpel pendulteori.

Hvis du sammenligner resultatet af denne afledning

til ligningen af ​​en simpel harmonisk oscillatorby ved at indstille dem til hinanden, kan du udlede en ligning for perioden T:

Bemærk, at denne ligning ikke afhænger af massenMaf pendulet, amplitudenθ_maksheller ikke til tident. Det betyder, at perioden er uafhængig af masse, amplitude og tid, men i stedet afhænger af længden af ​​strengen. Det giver dig en kortfattet måde at udtrykke pendulbevægelser på.

Med ligningen i en periode kan du omorganisere ligningen for at opnå

og erstat 1 sek forTog9,8 m / s²tilgat opnåL =0,0025 m. Husk, at disse ligninger af simpel pendulteori antager, at strengens længde er friktionsfri og masseløs. At tage højde for disse faktorer ville kræve mere komplicerede ligninger.

Du kan trække pendulets vinkel tilbageθat lade det svinge frem og tilbage for at se det svinge lige som en fjeder måske. For et simpelt pendul kan du beskrive det ved hjælp af ligninger af en simpel harmonisk oscillator. Bevægelsesligningen fungerer godt for mindre værdier for vinkel ogamplitude, den maksimale vinkel, fordi den enkle pendulmodel er afhængig af den tilnærmelse, dersynd (θ)​ ≈ ​θfor en vis pendulvinkelθ.Da værdivinklerne og amplituderne bliver større end ca. 20 grader, fungerer denne tilnærmelse ikke så godt.

Prøv det selv. Et pendul, der svinger med en stor startvinkelθvil ikke svinge så regelmæssigt for at give dig mulighed for at bruge en simpel harmonisk oscillator til at beskrive det. Ved en mindre startvinkelθ, pendulet nærmer sig en regelmæssig, oscillerende bevægelse meget lettere. Fordi massen af ​​et pendul ikke har nogen indflydelse på dets bevægelse, har fysikere bevist, at alle pendler har den samme periode for svingning vinkler - vinklen mellem centrum af pendulet på sit højeste punkt og centrum af pendulet ved sin stoppede position - mindre end 20 grader.

Til alle praktiske formål med et pendul i bevægelse vil pendulet til sidst bremse og stoppe på grund af friktion mellem snoren og dens fastgjorte punkt ovenfor såvel som på grund af luftmodstand mellem pendulet og luften omkring det.

For praktiske eksempler på pendulbevægelse afhænger perioden og hastigheden af ​​den anvendte type materiale, der ville forårsage disse eksempler på friktion og luftmodstand. Hvis du udfører beregninger af teoretisk penduloscillatorisk adfærd uden at tage højde for disse kræfter, vil det tegne sig for et pendul, der oscillerer uendeligt.

Newtons første lov definerer genstandens hastighed som reaktion på kræfter. Loven siger, at hvis en genstand bevæger sig med en bestemt hastighed og i en lige linje, vil den fortsætte med at bevæge sig med den hastighed og i en lige linje, uendeligt, så længe ingen anden kraft virker på den. Forestil dig at kaste en kugle lige frem - bolden ville gå rundt om jorden igen og igen, hvis luftmodstand og tyngdekraft ikke virkede på den. Denne lov viser, at da et pendul bevæger sig side om side og ikke op og ned, har det ingen op og ned kræfter, der virker på det.

Newtons anden lov bruges til at bestemme nettokraften på pendulet ved at indstille tyngdekraften lig med kraften i strengen, der trækker tilbage op på pendulet. Hvis du indstiller disse ligninger til hinanden, kan du udlede bevægelsesligningerne for pendulet.

Newtons tredje lov siger, at enhver handling har en reaktion af samme kraft. Denne lov fungerer med den første lov, der viser, at selv om massen og tyngdekraften annullerer den lodrette komponent i strengstrammingsvektoren, intet annullerer den vandrette komponent. Denne lov viser, at de kræfter, der virker på et pendul, kan annullere hinanden.

Fysikere bruger Newtons første, anden og tredje lov til at bevise, at den vandrette strengespænding bevæger pendulet uden hensyn til masse eller tyngdekraft. Lovene i et simpelt pendul følger ideerne i Newtons tre bevægelseslove.