Před diskusí o těžišti předpokládejme několik parametrů. Jeden, že máte co do činění s objektem, který je na povrchu Země, ne někde ve vesmíru. A za druhé, že objekt je přiměřeně malý - řekněme, ne kosmická loď, která je zaparkovaná na Zemi a čeká na vzlet. Jakmile jsou všechny tyto mimozemské vlivy odstraněny, jste v dobré pozici pro výpočet těžiště geometrických objektů pomocí relativně jednoduchý vzorec - a ve skutečnosti kvůli právě nastaveným podmínkám použijete stejný vzorec k nalezení těžiště jako k nalezení těžiště.
Jak psát o těžišti
Těžiště v dvojrozměrné rovině je obvykle označeno souřadnicemi (xsrov, ysrov) nebo někdy podle proměnnýchXays barem nad nimi. Termín „těžiště“ je někdy zkrácen na cg.
Jak vypočítat CG trojúhelníku
Vaše učebnice matematiky nebo fyziky bude často obsahovat grafy pro určení těžiště určitých čísel. U některých běžných geometrických tvarů však můžete k nalezení těžiště daného tvaru použít vhodný vzorec těžiště.
U trojúhelníků leží těžiště v bodě, kde se protínají všechny tři mediány. Pokud začnete u jednoho vrcholu trojúhelníku a poté nakreslíte přímku do středu druhé strany, je to jeden medián. Totéž proveďte pro další dva vrcholy a bod, kde se protínají všechny tři mediány, je těžiště trojúhelníku.
A samozřejmě pro to existuje vzorec. Pokud jsou souřadnice těžiště trojúhelníku (xsrov, ysrov), najdete jeho souřadnice takto:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
Kde (x1, y1), (X2, y2) a (x3, y3) jsou souřadnice tří vrcholů trojúhelníku. Můžete si vybrat, kterému vrcholu je přiřazeno které číslo.
Vzorec těžiště pro obdélník
Všimli jste si, že k nalezení těžiště trojúhelníku stačí průměrovat hodnotu souřadnic x, potom průměrujte hodnotu souřadnic y a použijte tyto dva výsledky jako souřadnice vašeho těžiště?
Chcete-li najít těžiště obdélníku, uděláte přesně to samé. Ale aby byly vaše výpočty ještě jednodušší, předpokládejme, že obdélník je orientován přímo na kartézský souřadnicová rovina (takže není nastavena pod úhlem) a že její levý dolní vrchol je na počátku graf. V takovém případě najít (xsrov, ysrov) pro obdélník, vše, co musíte vypočítat, je:
x_ {cg} = \ frac {\ text {width}} {2} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {výška}} {2}
Pokud nechcete přemístit svůj obdélník na počátek souřadné roviny, nebo pokud z jakéhokoli důvodu není přesně souřadnicovými osami, můžete čelit tomuto mírně děsivě vypadajícímu, ale stále účinnému vzorci k průměrování všech jeho souřadnic x, abyste našli hodnotu z xsrova zprůměrujte všechny souřadnice y, abyste našli hodnotu ysrov:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
Těžiště rovnice
Co když potřebujete vypočítat těžiště pro tvar, který vyhovuje všem výše uvedeným předpokladům (v zásadě se nepokoušíte dělat doslovnou raketovou vědu vyhledáním těžiště předmětů ve vesmíru), ale nespadá do žádné z výše zmíněných kategorií ani do grafů v zadní části vašeho učebnice? Poté můžete svůj tvar rozdělit na známější tvary a pomocí následujících rovnic najít jejich společné těžiště:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
Nebo řečeno jinak, xsrov se rovná ploše úseku 1násobku jeho umístění na ose x, přidané k ploše řezu 2násobku jeho umístění atd., dokud nepřidáte oblast krát umístění všech řezů; poté vydělte celou částku celkovou plochou všech sekcí. Pak udělejte totéž pro y.
Otázka: Jak najdu oblast každé sekce?Rozdělení vašeho složitého nebo nepravidelného tvaru na více známé polygony vám umožní použít standardizované vzorce k vyhledání oblasti. Pokud jste například rozdělili tento tvar na obdélníkové kousky, můžete k vyhledání oblasti každého kusu použít vzorec délka × šířka.
Otázka: Jaké je „umístění“ každé sekce?Umístění každého řezu je příslušnou souřadnicí od těžiště daného řezu. Takže pokud chcete y2 (umístění pro segment 2), musíte skutečně poskytnout souřadnici y pro těžiště tohoto segmentu. To je důvod, proč dělíte divně tvarovaný objekt na více známé tvary, protože můžete použít vzorce, které již byly diskutovány, aby našly těžiště každého tvaru a poté extrahovaly příslušnou souřadnici (s).
Otázka: Kam jde můj tvar v rovině souřadnic?Můžete si vybrat, kde váš tvar leží v souřadnicové rovině - mějte na paměti, že těžiště vaší odpovědi bude ve vztahu ke stejnému referenčnímu bodu. Nejjednodušší je umístit objekt do prvního kvadrantu grafu spodní hranou proti ose x a levý okraj proti ose y, takže všechny hodnoty x a y jsou kladné, ale také dostatečně malé na to, aby byly zvládnutelné.
Triky pro nalezení těžiště
Pokud máte co do činění s jediným objektem, někdy potřebujete intuici a trochu logiky, abyste našli jeho těžiště. Pokud například uvažujete o plochém disku, těžiště bude středem disku. Ve válci je to střed na ose válce. U obdélníku (nebo čtverce) je to bod, kde se sbíhají diagonální čáry.
Možná jste si zde všimli vzoru: Pokud má dotyčný objekt linii symetrie, těžiště bude na této linii. A pokud má více os symetrie, těžiště bude tam, kde se tyto osy protínají.
Nakonec, pokud se snažíte najít těžiště pro skutečně složitý objekt, máte dvě možnosti: Buď vybijte své nejlepší integrály kalkulu (viz Zdroje pro trojitý integrál, který představuje těžiště pro nejednotnou hmotu) nebo zadejte svá data do účelově vytvořeného těžiště kalkulačka. (Viz Zdroje pro příklad kalkulačky těžiště pro rádiem řízená letadla.)
