Centrum hmoty: Definice, Rovnice, Jak najít (s příklady)

Už jste někdy viděli jednoho z těch hraček, který je schopen na špičce prstu balancovat svým zobákem, aniž by se převrátil, jako by to bylo kouzlem? Nejde vůbec o kouzlo, které umožňuje ptákovi vůbec vyvažovat, ale o jednoduchou fyziku spojenou s těžištěm.

Pochopení fyziky za těžištěm umožňuje nejen porozumět zachování hybnosti a dalším souvisejícím fyzika, ale může také informovat o stabilitě a dynamice ve sportu, který hrajete, a také vám umožní provést nějaké kreativní vyvážení činy.

Objekttěžiště, někdy také nazývané těžiště, lze považovat za bod, kde lze celkovou hmotu objektu nebo systému považovat za hmotu bodu. V určitých situacích lze s vnějšími silami zacházet, jako by působily na těžiště objektu.

U hraček balancujících na špičce prstu je těžiště u zobáku. To se na první pohled může zdát špatné, a proto se akt vyvážení jeví jako magický. U ptáka sedícího na větvi je jeho těžiště někde v těle. Vyvažovací hračka pro ptáky má ale často vážená křídla, která se rozprostírají ven a dopředu, což způsobuje, že se vyvažuje jinak.

Těžiště lze určit pro jeden objekt - například vyvažujícího ptáka - nebo ho lze vypočítat pro soustavu několika objektů, jak uvidíte v další části.

Na tuhém těle bude vždy jeden bod, který je místem těžiště tohoto těla. Poloha těžiště objektu závisí na rozložení hmoty.

Pokud má objekt jednotnou hustotu, je těžší určit jeho těžiště. Například v kruhu jednotné hustoty je těžiště středem kruhu. (To by však nebyl případ, kdyby kruh byl na jedné straně hustší než na druhé straně).

Ve skutečnosti bude těžiště vždy v geometrickém středu objektu, pokud je hustota rovnoměrná. (Tento geometrický střed se nazývátěžiště​.)

Pokud hustota není rovnoměrná, existují další způsoby, jak určit těžiště. Některé z těchto metod zahrnují použití kalkulu, což je nad rámec tohoto článku. Jedním z jednoduchých způsobů, jak určit těžiště tuhého objektu, je jednoduše se pokusit jej vyvážit na dosah ruky. Těžiště bude v rovnovážném bodě.

Další metoda užitečná pro rovinné objekty je následující:

• Pozastavte tvar z jednoho okrajového bodu spolu s olovnicí.
• Nakreslete čáru do tvaru, který odpovídá linii olovnice.
• Pozastavte tvar z jiného okrajového bodu spolu s olovnicí.
• Nakreslete čáru na tvar, který se zarovná s novou olovnicí.
• Dvě nakreslené čáry by se měly protínat v jednom bodě.
• Tento jedinečný průsečík je místem těžiště.

U některých objektů je však možné, že bod rovnováhy bude mimo hranice samotného objektu. Představte si například prsten. Těžiště pro tvar prstence je ve středu, kde vůbec žádná část prstence neexistuje.

Polohu těžiště systému částic lze považovat za jejich průměrnou hmotnostní polohu.

Stejnou myšlenku lze použít jako u tuhého objektu, pokud si představíte, že tento systém částic je spojen tuhou, nehmotnou rovinou. Těžiště by pak bylo rovnovážným bodem tohoto systému.

K matematickému určení těžiště soustavy částic lze použít následující jednoduchý vzorec:

KdeMje celková hmotnost systému,m_ijsou jednotlivé masy ar_ijsou jejich polohové vektory.

V jedné dimenzi (pro hmoty rozložené po přímce) můžete nahraditrsX​.

Ve dvou rozměrech můžete najítX-koordinovaný ay- koordinátor těžiště samostatně jako:

​Příklad 1:Najděte souřadnice těžiště následující soustavy částic: částice o hmotnosti 0,1 kg umístěné v (1, 2), částice o hmotnosti 0,05 kg umístěné v (2, 4) a částice o hmotnosti 0,075 kg umístěné v (2, 1).

​Řešení 1:Použijte vzorec proX- souřadnice těžiště takto:

Poté použijte vzorec proy- souřadnice těžiště takto:

Takže umístění těžiště je (0,079, 2,11).

​Příklad 2:Najděte umístění těžiště rovnoměrného hustotního trojúhelníku, jehož vrcholy leží v bodech (0, 0), (1, 0) a (1/2, √3 / 2).

​Řešení 2:Musíte najít geometrický střed tohoto rovnostranného trojúhelníku s délkou strany 1. TheX- souřadnice geometrického středu je přímá - je to jednoduše 1/2.

They-koordinátor je trochu složitější. Dojde k tomu v místě, kde se čára z horní části trojúhelníku do bodu (0, 1/2) protíná s přímkou ​​z kteréhokoli z ostatních vrcholů do středu jedné z opačných stran. Pokud načrtnete takové uspořádání, ocitnete se s pravým trojúhelníkem 30-60-90, jehož dlouhá noha je 0,5 a krátká noha jey-koordinovat. Vztah mezi těmito stranami je √3y = 1/2, tedy y = √3 / 6, a souřadnice těžiště jsou (1/2, √3 / 6).

Umístění těžiště objektu nebo systému objektů lze použít jako referenční bod v mnoha fyzikálních výpočtech.

Při práci se systémem interagujících částic například hledání těžiště systému umožňuje pochopení lineární hybnosti. Když je zachována lineární hybnost, těžiště soustavy se bude pohybovat konstantní rychlostí, i když se samotné objekty od sebe odrazí.

U padajícího tuhého objektu lze gravitaci považovat za působící na těžiště daného objektu, i když se tento objekt otáčí.

Totéž platí pro projektily. Představte si, že hodíte kladivem, a jak letí obloukem ve vzduchu, otáčí se od jednoho konce k druhému. To se na první pohled může zdát jako složitý pohyb, ale ukázalo se, že těžiště kladiva se pohybuje pěknou hladkou parabolickou cestou.

Může být proveden jednoduchý experiment, který to demonstruje tím, že se na střed hmoty kladiva přilepí malý kousek zářivé pásky a poté se kladivo hodí podle popisu v temné místnosti. Zářící páska se bude pohybovat hladkým obloukem, jako hodená koule.

Zábavný experiment s těžištěm, který můžete provádět doma, zahrnuje použití jednoduché techniky pro nalezení těžiště koště. K tomuto experimentu potřebujete jen jedno koště a dvě ruce.

S rukama relativně daleko od sebe držte koště na konci dvou ukazováčků. Potom pomalu přibližte ruce k sobě a zasuňte je pod koště. Jak budete pohybovat rukama blíže k sobě, můžete si všimnout, že jedna ruka chce klouzat po spodní straně rukojeti koštěte, zatímco druhá zůstane chvíli zasunutá, než se posune.

Po celou dobu, kdy se vaše ruce pohybují, zůstává koště vyvážené. Nakonec, když se vaše dvě ruce setkají, setkají se v místě těžiště koštěte.

Těžiště lidského těla se nachází někde poblíž pupku (pupku). U mužů má střed hmoty tendenci být o něco vyšší, protože nesou více tělesné hmoty v horní části těla, a u žen je střed hmoty nižší, protože nesou více hmoty v bocích.

Pokud stojíte na jedné noze, vaše těžiště se posune směrem ke straně nohy, na které stojíte. Můžete si všimnout, že se více nakloníte k této straně. Je to proto, že aby zůstal vyrovnaný, vaše těžiště musí zůstat přes nohu, na které balancujete, jinak se převrátíte.

Pokud stojíte s jednou nohou a bokem proti zdi a pokoušíte se zvednout druhou nohu, pravděpodobně to považujete za nemožné, protože zeď brání tomu, aby se vaše váha přesunula přes rovnovážnou nohu.

Další věcí, kterou můžete vyzkoušet, je stát zády ke zdi a paty se dotýkat zdi. Pak se pokuste ohnout dopředu a dotknout se podlahy, aniž byste ohýbali nohy. Ženy mohou být v tomto úkolu úspěšnější než muži, protože jejich těžiště je v těle nižší a nakonec se mohou naklánět dopředu a být stále nad prsty.

Poloha těžiště vzhledem k základně objektu určuje jeho stabilitu. Něco se považuje za stabilně vyvážené, pokud se při mírném převrácení a následném uvolnění vrátí zpět do původní polohy, místo aby se převrátilo a převrátilo.

Zvažte trojrozměrný tvar pyramidy. Je-li vyvážený na své základně, je stabilní. Pokud jeden konec lehce zvednete a pustíte, spadne zpět dolů. Pokud se ale pokusíte pyramidu na její špičce vyrovnat, pak jakékoli odchylky od dokonalé rovnováhy způsobí její převrácení.

Můžete určit, zda objekt spadne zpět do své původní polohy nebo se převrátí, když se podíváte na umístění těžiště vzhledem k základně. Jakmile se střed hmoty pohybuje kolem základny, objekt se převrátí.

Pokud sportujete, možná jste obeznámeni s připravenou pozicí, kdy stojíte se širokým postojem a koleny ohnutými. Toto udržuje vaše těžiště nízké a díky široké základně budete stabilnější. Zvažte, jak silně by vás někdo musel tlačit, aby vás převrhl, pokud jste v připravené pozici vs. když stojíte rovně s nohama u sebe.

Některá auta mají problémy s převrácením při ostré zatáčce. Je to z důvodu umístění jejich těžiště. Pokud je těžiště vozidla příliš vysoké a základna není dostatečně široká, potom se nemusí příliš převrhnout. Pro stabilitu vozidla je vždy nejlepší mít co nejnižší váhu.