Ve skutečném světě je parabola oblouk, který míč vytvoří, když ho hodíte, nebo výrazný tvar satelitní antény. Matematicky řečeno, parabola tvar, který získáte, když proříznete pevný kužel v úhlu, který je rovnoběžný s jednou z jeho stran, a proto je známý jako jeden z „kuželovité řezy.“ Nejjednodušší způsob, jak najít rovnici paraboly, je použití znalostí zvláštního bodu zvaného vrchol, který se nachází na parabole sám.
Rozpoznávání vzorce paraboly
Pokud vidíte kvadratickou rovnici ve dvou proměnných, ve tvaruy = sekera2 + bx + c, kde ≠ 0, pak gratulujeme! Našli jste parabolu. Kvadratická rovnice je někdy také známá jako „standardní forma“ vzorce paraboly.
Ale pokud se vám zobrazí graf paraboly (nebo vám poskytneme malou informaci o parabole v textu nebo slově) problémový formát), budete chtít napsat svoji parabolu v tzv. vrcholné podobě, která vypadá tento:
y = a (x - h)2 + k(pokud se parabola otevírá svisle)
x = a (y - k)2 + h(pokud se parabola otevírá vodorovně)
Co je vrchol paraboly?
V obou vzorcích představují souřadnice (h, k) vrchol paraboly, což je bod, kde osa symetrie paraboly protíná čáru samotné paraboly. Nebo jinak řečeno, pokud byste parabolu složili napůl přímo do středu, vrchol by byl „vrcholem“ paraboly, přesně tam, kde překročila záhyb papíru.
Nalezení rovnice paraboly
Pokud vás někdo požádá, abyste našli rovnici paraboly, bude vám řečeno, že vrchol je parabola a alespoň jeden další bod, nebo vám bude poskytnuto dostatek informací, abyste je mohli zjistit ven. Jakmile budete mít tyto informace, můžete najít rovnici paraboly ve třech krocích.
Udělejme příklad problému, abychom zjistili, jak to funguje. Představte si, že dostanete parabolu ve formě grafu. Bylo vám řečeno, že vrchol paraboly je v bodě (1,2), že se otevírá svisle a že další bod na parabole je (3,5). Jaká je rovnice paraboly?
Když se všechna ta písmena a číslice vznášejí kolem, může být těžké vědět, kdy jste „skončili“ hledáním vzorce! Obecně platí, že když pracujete s problémy ve dvou dimenzích, máte hotovo, když vám zbývají jen dvě proměnné. Tyto proměnné se obvykle zapisují jakoXay,zvláště když máte co do činění se „standardizovanými“ tvary, jako je parabola.
Vaše první priorita musí být rozhodování o tom, jakou formu vrcholní rovnice použijete. Nezapomeňte, že pokud se parabola otevírá svisle (což může znamenat, že otevřená strana U směřuje nahoru nebo dolů), použijete tuto rovnici:
y = a (x - h)2 + k
A pokud se parabola otevírá vodorovně (což může znamenat otevřenou stranu tváří U vpravo nebo vlevo), použijete tuto rovnici:
x = a (y - k)2 + h
Protože se příklad paraboly otevírá svisle, použijeme první rovnici.
Dále nahraďte souřadnice vrcholu paraboly (h, k) do vzorce, který jste vybrali v kroku 1. Protože víte, že vrchol je na (1,2), dosadíte h = 1 a k = 2, což vám dává následující:
y = a (x - 1)2 + 2
Poslední věc, kterou musíte udělat, je najít hodnotuA. K tomu vyberte libovolný bod (x, y) na parabole, pokud tento bod není vrcholem, a dosaďte jej do rovnice.
V tomto případě jste již dostali souřadnice dalšího bodu na vrcholu: (3,5). Nahradíte tedy x = 3 a y = 5, což vám dává:
5 = a (3 - 1)2 + 2
Nyní vše, co musíte udělat, je vyřešit tuto rovnici proA. Trochu zjednodušení vám poskytne následující:
5 = a (2)2 + 2, které lze dále zjednodušit na:
5 = a (4) + 2, což se zase stává:
3 = a (4), a nakonec:
a = 3/4
Nyní, když jste našli hodnotuA, dosaďte jej do své rovnice a dokončete příklad:
y = (3/4) (x - 1)2 + 2je rovnice pro parabolu s vrcholem (1,2) a obsahující bod (3,5).