Představte si, že stojíte uprostřed dokonale kruhové arény. Díváte se směrem k davům po stranách arény a na jednom sedadle zahlédnete svého nejlepšího přítele a svého učitele matematiky na střední škole o několik sekcí dál. Jaká je vzdálenost mezi nimi a vámi? Jak daleko byste museli jít pěšky, abyste mohli cestovat ze sedadla svého přítele na místo svého učitele? Jaká jsou měřítka úhlů mezi vámi? To jsou všechny otázky týkající se středových úhlů.
A středový úhel je úhel, který se tvoří, když jsou dva poloměry nakresleny od středu kruhu k jeho okrajům. V tomto příkladu jsou dvěma poloměry vaše dvě přímky pohledu od vás, ve středu arény, k vašemu příteli a přímka vašeho učitele. Úhel, který se tvoří mezi těmito dvěma čarami, je středový úhel. Je to úhel nejblíže ke středu kruhu.
Váš přítel a váš učitel sedí u obvod nebo hrany kruhu. Cesta podél arény, která je spojuje, je oblouk.
Najděte střední úhel z délky oblouku a obvodu
Existuje několik rovnic, pomocí kterých můžete najít středový úhel. Někdy dostanete
délka oblouku, vzdálenost po obvodu mezi dvěma body. (V příkladu je to vzdálenost, kterou byste museli projít arénou, abyste se dostali od svého přítele k učiteli.) Vztah mezi středovým úhlem a délkou oblouku je:(délka oblouku) ÷ obvod = (středový úhel) ÷ 360 °
Střední úhel bude ve stupních.
Tento vzorec dává smysl, pokud o tom přemýšlíte. Délka oblouku z celkové délky kolem kruhu (obvodu) je stejná jako u úhlu oblouku z celkového úhlu v kruhu (360 stupňů).
Abyste mohli tuto rovnici používat efektivně, potřebujete znát obvod kruhu. Tento vzorec však můžete také použít k nalezení délky oblouku, pokud znáte středový úhel a obvod. Nebo, pokud máte délku oblouku a středový úhel, můžete najít obvod!
Najděte střední úhel z délky oblouku a poloměru
K určení středového úhlu můžete také použít poloměr kruhu a délku oblouku. Zavolejte míru středového úhlu θ. Pak:
θ = s÷ r, kde s je délka oblouku ar je poloměr. θ se měří v radiánech.
Tuto rovnici můžete znovu uspořádat v závislosti na informacích, které máte. Délku oblouku najdete z poloměru a středového úhlu. Nebo můžete najít poloměr, pokud máte středový úhel a délku oblouku.
Pokud chcete délku oblouku, rovnice vypadá takto:
s =θ * r, kde s je délka oblouku, r je poloměr a θ je středový úhel v radiánech.
Věta o středním úhlu
Přidejte příklad k tomu, že jste v aréně se sousedem a učitelem. Nyní je v aréně třetí osoba, kterou znáte: váš soused. A ještě jedna věc: Jsou za vámi. Musíte se otočit, abyste je viděli.
Váš soused je přibližně za arénou od vašeho přítele a vašeho učitele. Z pohledu vašeho souseda existuje úhel, který tvoří jejich zorný úhel pro přítele a jejich zorný úhel pro učitele. Tomu se říká vepsaný úhel. An vepsaný úhel je úhel tvořený třemi body podél obvodu kruhu.
Věta o středním úhlu vysvětluje vztah mezi velikostí středového úhlu, který jste vytvořili, a vepsaným úhlem, který tvoří váš soused. The Věta o středním úhlu tvrdí, že střední úhel je dvojnásobek vepsaného úhlu. (To předpokládá, že používáte stejné koncové body. Díváte se jak na učitele, tak na přítele, ne na nikoho jiného).
Tady je další způsob, jak to napsat. Pojďme nazvat sedadlo vašeho přítele A, sedadlo vašeho učitele B a sedadlo vašeho souseda C. Vy ve středu můžete být O.
Takže pro tři body A, B a C podél obvodu kružnice a bodu O ve středu je střední úhel ∠AOC dvakrát vepsaným úhlem ∠ABC.
To znamená, ∠AOC = 2∠ABC.
To dává nějaký smysl. Jste si bližší s přítelem a učitelem, takže pro vás vypadají dále od sebe (větší úhel). Sousedovi na druhé straně stadionu vypadají mnohem blíže k sobě (menší úhel).
Výjimka z věty o centrálním úhlu
Nyní pojďme posunout věci nahoru. Váš soused na druhé straně arény se začne pohybovat! Stále mají zorný úhel pro přítele a učitele, ale čáry a úhly se neustále mění, jak se soused pohybuje. Hádejte co: Dokud soused zůstane mimo oblouk mezi přítelem a sousedem, stále platí věta o středním úhlu!
Ale co se stane, když se soused pohne mezi přítel a učitel? Nyní je váš soused uvnitř menší oblouk, relativně malá vzdálenost mezi přítelem a učitelem ve srovnání s větší vzdáleností kolem zbytku arény. Pak dosáhnete výjimky z věty o středním úhlu.
The výjimka z věty o centrálním úhlu uvádí, že když je bod C, soused, uvnitř vedlejšího oblouku, vepsaný úhel je doplňkem poloviny středového úhlu. (Pamatujte, že úhel a jeho doplněk přidat na 180 stupňů.)
Tak: vepsaný úhel = 180 - (středový úhel ÷ 2)
Nebo: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Vizualizovat
Math Open Reference má nástroj pro vizualizaci věty o středním úhlu a jeho výjimky. Přetáhnete „souseda“ do všech různých částí kruhu a sledujete, jak se mění úhly. Vyzkoušejte, pokud chcete vizuální nebo praktický trénink!