Rotační kinetická energie: definice, vzorec a jednotky (s příklady)

​Rotační kinetická energiepopisuje energii pohybu vyplývající z rotace nebo kruhového pohybu objektu. Odvolej tolineární kinetická energiemšempohybující se rychlostíprotije dáno 1 / 2mv². Toto je přímý výpočet pro jakýkoli objekt pohybující se po přímce. Vztahuje se na těžiště objektu, což umožňuje aproximaci objektu jako hmotu bodu.

Nyní, pokud chceme popsat kinetickou energii rozšířeného objektu podstupujícího složitější pohyb, je výpočet složitější.

Mohli bychom postupné aproximace rozdělením rozšířeného objektu na malé kousky, z nichž každý lze aproximovat jako a hmotu bodu a poté vypočítat lineární kinetickou energii pro každou hmotu bodu zvlášť a sečíst je dohromady, aby bylo možné najít součet pro objekt. Čím menší objekt rozbijeme, tím lepší bude aproximace. V limitu, kde se kousky stanou nekonečně malými, to lze provést pomocí kalkulu.

Ale máme štěstí! Pokud jde o rotační pohyb, je zde zjednodušení. Pokud pro rotující objekt popíšeme jeho distribuci hmoty kolem osy otáčení z hlediska jeho momentu setrvačnosti,

​Moment setrvačnostije měřítkem toho, jak obtížné je způsobit, aby objekt změnil svůj rotační pohyb kolem určité osy. Moment setrvačnosti rotujícího objektu závisí nejen na hmotnosti objektu, ale také na tom, jak je tato hmota rozložena kolem osy otáčení. Čím dále od osy je hmota distribuována, tím těžší je změnit její rotační pohyb, a tím je tedy větší moment setrvačnosti.

Jednotky SI pro moment setrvačnosti jsou kgm² (což je v souladu s naší představou, že to závisí na hmotnosti a na vzdálenosti od osy otáčení). Momenty setrvačnosti pro různé objekty lze najít v tabulce nebo z počtu.

• Moment setrvačnosti pro jakýkoli objekt lze zjistit pomocí kalkulu a vzorce pro moment setrvačnosti bodové hmoty.

Vzorec rotační kinetické energie je dán vztahem:

KdeJáje moment setrvačnosti objektu aωje úhlová rychlost objektu v radiánech za sekundu (rad / s). Jednotkou SI pro rotační kinetickou energii je joule (J).

Forma vzorce kinetické energie rotace je analogická s rovnicí translační kinetické energie; moment setrvačnosti hraje roli hmoty a úhlová rychlost nahrazuje lineární rychlost. Všimněte si, že rovnice kinetické energie rotace poskytuje stejný výsledek pro bodovou hmotnost jako lineární rovnice.

Pokud si představíme bodovou hmotumpohybující se v kruhu o poloměrurs rychlostíproti, pak jeho úhlová rychlost je ω = v / r a jeho moment setrvačnosti je mr². Obě rovnice kinetické energie poskytují podle očekávání stejný výsledek:

Pokud se objekt otáčí a jeho těžiště se pohybuje po přímce (například u válcovací pneumatiky), pakcelková kinetická energieje součet rotační kinetické energie a translační kinetické energie:

Vzorec rotační kinetické energie má mnoho aplikací. Lze jej použít k výpočtu jednoduché kinetické energie rotujícího objektu, k výpočtu kinetické energie valivý objekt (objekt procházející jak rotačním, tak translačním pohybem) a řešit pro jiné neznámé. Zvažte následující tři příklady:

​Příklad 1:Země se točí kolem své osy přibližně jednou za 24 hodin. Pokud předpokládáme, že má jednotnou hustotu, jaká je jeho rotační kinetická energie? (Poloměr Země je 6,37 × 10⁶ m a jeho hmotnost je 5,97 × 10²⁴ kg.)

Abychom našli rotační kinetickou energii, musíme nejprve najít moment setrvačnosti. Aproximací Země jako pevné koule získáme:

Úhlová rychlost je 2π radiánů / den. Převedením na rad / s získáte:

Rotační kinetická energie Země je tedy:

Zábavný fakt: To je více než 10krát více energie, než slunce vydá za minutu!

​Příklad 2:Rovnoměrný válec o hmotnosti 0,75 kg a poloměru 0,1 m se valí po podlaze konstantní rychlostí 4 m / s. Jaká je jeho kinetická energie?

Celková kinetická energie je dána vztahem:

V tomto případě I = 1/2 mr² je moment setrvačnosti pro plný válec aωsouvisí s lineární rychlostí přes ω = v / r.​

Zjednodušení výrazu pro celkovou kinetickou energii a připojení hodnot dává:

Všimněte si, že jsme ani nemuseli použít poloměr! Zrušilo se to kvůli přímému vztahu mezi rychlostí otáčení a lineární rychlostí.

​Příklad 3:Student na kole dojíždí z kopce z odpočinku. Je-li svislá výška kopce 30 m, jak rychle jde student ve spodní části kopce? Předpokládejme, že kolo váží 8 kg, jezdec váží 50 kg, každé kolo váží 2,2 kg (je součástí hmotnosti kola) a každé kolo má průměr 0,7 m. Přibližte kola jako obruče a předpokládejte, že tření je zanedbatelné.

Zde můžeme použít konzervaci mechanické energie k nalezení konečné rychlosti. Potenciální energie na vrcholu kopce se ve spodní změnila na kinetickou energii. Tato kinetická energie je součtem translační kinetické energie celého systému osoba + kolo a kinetické energie rotace pneumatik.

Celková energie systému:

Vzorec pro celkovou energii z hlediska kinetických energií na dně kopce je:

Řešení proprotidává:

Nakonec připojením čísel dostaneme naši odpověď: