Řešení záhad elektromagnetismu bylo doposud jedním z největších úspěchů fyziky a získané poznatky jsou plně zapouzdřeny v Maxwellových rovnicích.
James Clerk Maxwell pojmenoval tyto čtyři elegantní rovnice, ale jsou vyvrcholením desetiletí práce mnoha fyziků, včetně Michaela Faradaye, Andre-Marie Ampere a Carla Friedricha Gaussa - kteří pojmenují tři ze čtyř rovnic - a mnoho ostatní. Zatímco Maxwell sám přidal do jedné ze čtyř rovnic pouze jeden výraz, měl prozíravost a porozumění shromáždit to nejlepší z práce, která byla na daném tématu provedena, a představit je způsobem, který stále používá fyzici dnes.
Po mnoho let fyzici věřili, že elektřina a magnetismus jsou oddělené síly a odlišné jevy. Ale experimentální prací lidí, jako je Faraday, bylo stále jasnější, že jsou ve skutečnosti dvě strany stejný jev a Maxwellovy rovnice představují tento jednotný obraz, který je dnes stejně platný jako v 19. letech století. Pokud se chystáte studovat fyziku na vyšších úrovních, musíte absolutně znát Maxwellovy rovnice a jak je používat.
Maxwellovy rovnice
Maxwellovy rovnice jsou následující, jak v diferenciální formě, tak v integrální formě. (Uvědomte si, že i když zde jsou znalosti diferenciálních rovnic užitečné, koncepční porozumění je možné i bez nich.)
Gaussův zákon pro elektřinu
Diferenciální forma:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Integrální forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Žádný monopolní zákon / Gaussův zákon pro magnetismus
Diferenciální forma:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Integrální forma:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Faradayův zákon indukce
Diferenciální forma:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Integrální forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {}t}
Ampere-Maxwellův zákon / Ampereův zákon
Diferenciální forma:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Integrální forma:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Symboly používané v Maxwellových rovnicích
Maxwellovy rovnice používají poměrně velký výběr symbolů a je důležité pochopit, co to znamená, pokud se je naučíte používat. Zde je souhrn významů použitých symbolů:
B= magnetické pole
E= elektrické pole
ρ= hustota elektrického náboje
ε0= permitivita volného prostoru = 8 854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 A2
q= celkový elektrický náboj (čistý součet kladných a záporných nábojů)
𝜙B = magnetický tok
J= proudová hustota
Já= elektrický proud
C= rychlost světla = 2,998 × 108 slečna
μ0 = propustnost volného prostoru = 4π × 10−7 N / A2
Dále je důležité vědět, že ∇ je operátor del, tečka mezi dvěma veličinami (X ∙ Y) ukazuje skalární součin, tučným symbolem násobení mezi dvěma veličinami je vektorový součin (X × Y), že operátor del s tečkou se nazývá „divergence“ (např. ∇ ∙ X= divergenceX= divX) a operátor del se skalárním součinem se nazývá zvlnění (např. ∇× Y= zvlněníY= zvlněníY). NakonecAv dAznamená povrch uzavřeného povrchu, pro který počítáte (někdy psaný jako dS) asv dsje velmi malá část hranice otevřené plochy, pro kterou počítáte (i když to je někdy dl, s odkazem na nekonečně malou liniovou složku).
Odvození rovnic
První rovnicí Maxwellových rovnic je Gaussův zákon a uvádí, že čistý elektrický tok přes a uzavřený povrch se rovná celkovému náboji obsaženému uvnitř tvaru dělenému permitivitou volného prostor. Tento zákon lze odvodit z Coulombova zákona po provedení důležitého kroku vyjádření Coulombova zákona ve smyslu elektrického pole a jeho vlivu na testovací náboj.
Druhá z Maxwellových rovnic je v podstatě ekvivalentní tvrzení, že „neexistují žádné magnetické monopoly“. Uvádí že čistý magnetický tok přes uzavřený povrch bude vždy 0, protože magnetická pole jsou vždy výsledkem a dipól. Zákon lze odvodit z Biot-Savartova zákona, který popisuje magnetické pole produkované proudovým prvkem.
Třetí rovnice - Faradayův zákon indukce - popisuje, jak měnící se magnetické pole vytváří napětí ve smyčce drátu nebo vodiče. Původně to bylo odvozeno z experimentu. Avšak vzhledem k výsledku, že měnící se magnetický tok indukuje elektromotorickou sílu (EMF nebo napětí) a tím elektrický proud v smyčka drátu a skutečnost, že EMF je definována jako integrální čára elektrického pole kolem obvodu, je snadné stanovit zákon spolu.
Čtvrtá a poslední rovnice, Ampereův zákon (nebo Ampere-Maxwellův zákon, který mu dává uznání za jeho příspěvek) popisuje, jak je magnetické pole generováno pohybujícím se nábojem nebo měnící se elektrickou energií pole. Zákon je výsledkem experimentu (a tak - stejně jako všechny Maxwellovy rovnice - nebyl ve skutečnosti „odvozen“ v tradičním smyslu), ale za použitíStokesova větaje důležitým krokem k získání základního výsledku do dnes používané podoby.
Příklady Maxwellových rovnic: Gaussův zákon
Abych byl upřímný, zvláště pokud nejste přesně na svém vektorovém počtu, Maxwellovy rovnice vypadají docela skličující, i přes to, jak jsou všechny relativně kompaktní. Nejlepší způsob, jak jim skutečně porozumět, je projít si některé příklady jejich použití v praxi a Gaussův zákon je tím nejlepším místem, kde začít. Gaussův zákon je v zásadě zásadnější rovnicí, která plní úlohu Coulombova zákona, a to je je docela snadné z něj odvodit Coulombův zákon zvážením elektrického pole produkovaného bodem nabít.
Volání poplatkuq, klíčovým bodem pro uplatnění Gaussova zákona je výběr správného „povrchu“ pro zkoumání elektrického toku skrz. V tomto případě dobře funguje koule, která má povrchovou plochuA = 4πr2, protože můžete vycentrovat kouli na bodový náboj. To je obrovská výhoda řešení takovýchto problémů, protože pak nemusíte integrovat různé pole napříč povrchem; pole bude symetrické kolem bodového náboje, a tak bude konstantní napříč povrchem koule. Takže integrální forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Lze vyjádřit jako:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Všimněte si, žeEprotože elektrické pole bylo nahrazeno jednoduchou velikostí, protože pole z bodového náboje se jednoduše rozloží rovnoměrně ve všech směrech od zdroje. Nyní dělení povrchem koule dává:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Protože síla souvisí s elektrickým polem oE = F/q, kdeqje zkušební poplatek,F = qE, a tak:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
V případě, že byly přidány indexy k rozlišení dvou poplatků. Toto je Coulombův zákon uvedený ve standardní formě, který se ukázal jako jednoduchý důsledek Gaussova zákona.
Příklady Maxwellových rovnic: Faradayův zákon
Faradayův zákon umožňuje vypočítat elektromotorickou sílu ve smyčce drátu vyplývající z měnícího se magnetického pole. Jednoduchým příkladem je smyčka drátu s poloměremr= 20 cm, v magnetickém poli, jehož velikost se zvyšuje odBi = 1 T ažBF = 10 T v prostoru ∆t= 5 s - jaký je v tomto případě indukovaný EMF? Integrální forma zákona zahrnuje tok:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {}t}
který je definován jako:
ϕ = BA \ cos (θ)
Klíčovou částí problému zde je zjištění rychlosti změny toku, ale protože problém je poměrně přímočarý, můžete částečnou derivaci nahradit jednoduchou „změnou“ každé veličiny. A integrál ve skutečnosti znamená pouze elektromotorickou sílu, takže Faradayův zákon indukce můžete přepsat jako:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {}t}
Pokud předpokládáme, že smyčka drátu má svoji normálu zarovnanou s magnetickým polem,θ= 0 ° a tak cos (θ) = 1. Toto ponechává:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {}t}
Problém lze poté vyřešit nalezením rozdílu mezi počátečním a konečným magnetickým polem a oblastí smyčky následujícím způsobem:
\ begin {aligned} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0,2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0,23 \ text {V } \ end {zarovnáno}
Toto je jen malé napětí, ale Faradayův zákon se bez ohledu na to používá stejným způsobem.
Příklady Maxwellových rovnic: Ampere-Maxwellův zákon
Zákon Ampere-Maxwell je poslední z Maxwellových rovnic, které budete muset pravidelně aplikovat. Při absenci měnícího se elektrického pole se rovnice vrátí k Ampérovu zákonu, takže je to nejjednodušší příklad. Můžete jej použít k odvození rovnice pro magnetické pole vznikající z přímého drátu, který vede proudJáa tento základní příklad stačí k tomu, aby ukázal, jak se rovnice používá. Celý zákon zní:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Ale beze změny elektrického pole se redukuje na:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Nyní, stejně jako u Gaussova zákona, pokud si vyberete kružnici pro povrch se středem ve smyčce drátu, intuice naznačuje, že výsledné magnetické pole bude symetrický, takže integrál můžete nahradit jednoduchým součinem obvodu smyčky a síly magnetického pole, opuštění:
B × 2πr = μ_0 I
Dělení na 2πrdává:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Což je akceptovaný výraz pro magnetické pole na dálkurvyplývající z přímého vodiče, který vede proud.
Elektromagnetické vlny
Když Maxwell sestavil svůj soubor rovnic, začal pro ně hledat řešení, aby pomohl vysvětlit různé jevy ve skutečném světě a vhled, který dal do světla, je jedním z nejdůležitějších výsledků získané.
Protože měnící se elektrické pole generuje magnetické pole (podle Ampereova zákona) a mění se magnetické pole elektrické pole (podle Faradayova zákona), Maxwell zjistil, že by se mohla šířit elektromagnetická vlna s vlastním množením možný. Použil své rovnice k nalezení vlnové rovnice, která by popsala takovou vlnu, a určil, že bude cestovat rychlostí světla. Byl to druh svého druhu „heuréka“; uvědomil si, že světlo je forma elektromagnetického záření, fungující stejně jako pole, které si představoval!
Elektromagnetická vlna se skládá z vlny elektrického pole a vlny magnetického pole oscilující tam a zpět, vzájemně vyrovnané v pravém úhlu. Oscilace elektrické části vlny generuje magnetické pole a oscilace této části zase vytváří elektrické pole znovu a znovu při jeho pohybu prostorem.
Jako každá jiná vlna má elektromagnetická vlna frekvenci a vlnovou délku a jejich součin se vždy rovnáCrychlost světla. Elektromagnetické vlny jsou všude kolem nás a stejně jako viditelné světlo se ostatním vlnovým délkám běžně říká rádiové vlny, mikrovlny, infračervené, ultrafialové, rentgenové a gama paprsky. Všechny tyto formy elektromagnetického záření mají stejnou základní formu, jak je vysvětleno Maxwellovými rovnicemi, ale jejich energie se mění s frekvencí (tj. Vyšší frekvence znamená vyšší energii).
Takže pro fyzika to byl Maxwell, kdo řekl: „Budiž světlo!“