V matematice je převrácená hodnota čísla číslo, které po vynásobení původním číslem vytvoří 1. Například převrácená hodnota pro proměnnou x je 1 /X, protože
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
V tomto příkladu 1 /Xje vzájemná identitaXa naopak. V trigonometrii lze jeden z úhlů ne 90 stupňů v pravém trojúhelníku definovat pomocí poměrů nazývaných sinus, kosinus a tangens. Použitím konceptu vzájemných identit matematici definují další tři poměry. Jmenují se kosekans, sekans a kotangens. Cosecant je vzájemná identita sinu, se kosinová je kosinová a kotangensová tečna.
Jak určit vzájemné identity
Zvažte úhelθ, což je jeden ze dvou úhlů ne 90 stupňů v pravém trojúhelníku. Pokud je délka strany trojúhelníku naproti úhlu „b„délka strany sousedící s úhlem a naproti přeponům je“A„a délka přepony je“r„můžeme definovat tři primární trigonometrické poměry z hlediska těchto délek.
\ text {sine} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {cosine} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangenta} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
Vzájemná identita hříchuθmusí být rovno 1 / sin θ, protože to je číslo, které se vynásobí sinθ, vyrábí 1. Totéž platí pro cosθa opáleníθ. Matematici dávají těmto recipročním jménům kosekans, secanty a kotangenty. Podle definice:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {kotangens} θ = \ cot θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Tyto vzájemné identity můžete definovat z hlediska délek stran pravého trojúhelníku takto:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Následující vztahy platí pro jakýkoli úhelθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
Dvě další trigonometrické identity
Pokud znáte sinus a kosinus úhlu, můžete odvodit tečnu. To je pravda, protože
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {a} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, so} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Jelikož se jedná o definici tan θ, následuje následující identita, známá jako kvocientová identita:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ cot θ
Pythagorovská identita vyplývá ze skutečnosti, že pro jakýkoli pravý trojúhelník se stranamiAaba přeponar, platí následující:A2 + b2 = r2. Přeskupením výrazů a definováním poměrů ve smyslu sinu a kosinu se dostanete k následujícímu výrazu:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Když do výše uvedeného výrazu vložíte vzájemné identity pro sinus a kosinus, následují dva další důležité vztahy:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ