Jakmile začnete dělat trigonometrii a počet, můžete narazit na výrazy jako hřích (2θ), kde budete požádáni o zjištění hodnotyθ. Hraní pokusů a omylů pomocí grafů nebo kalkulačky za účelem nalezení odpovědi by se pohybovalo od vytažené noční můry až po naprosto nemožné. Naštěstí jsou zde identity s dvojitým úhlem, které vám pomohou. Jedná se o speciální instance takzvaného složeného vzorce, který rozbíjí funkce forem (A + B) nebo (A – B) dolů do funkcí jenAaB.
Double-Angle Identities for Sine
Existují tři identity s dvojitým úhlem, jedna pro funkce sine, kosinus a tangens. Ale sinusovou a kosinovou identitu lze zapsat několika způsoby. Zde jsou dva způsoby zápisu identity s dvojitým úhlem pro funkci sine:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Dvojitá identita pro kosinus
Existuje ještě více způsobů zápisu dvojité úhlové identity pro kosinus:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1-2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Double-Angle Identity for Tangent
Milosrdně existuje jen jeden způsob, jak zapsat identitu dvojitého úhlu pro tangenciální funkci:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Používání identit s dvojitým úhlem
Představte si, že čelíte pravoúhlému trojúhelníku, kde znáte délku jeho stran, ale ne míru jeho úhlů. Byli jste požádáni, abyste našliθ, kdeθje jedním z úhlů trojúhelníku. Pokud přepona trojúhelníku měří 10 jednotek, strana sousedící s vaším úhlem měří 6 jednotek a strana naproti úhlu měří 8 jednotek, nevadí, že neznáte míruθ; k nalezení odpovědi můžete použít své znalosti sinusového a kosinusového plus jeden z dvojitých vzorců.
Jakmile vyberete úhel, můžete definovat sinus jako poměr opačné strany přes přeponu a kosinus jako poměr sousední strany přes přeponu. V uvedeném příkladu tedy máte:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Tyto dva výrazy najdete, protože jsou nejdůležitějšími stavebními kameny pro vzorce s dvojitým úhlem.
Protože existuje tolik vzorců s dvojitým úhlem, ze kterých si můžete vybrat, můžete vybrat ten, který vypadá snadněji vypočítatelně a vrátí typ informací, které potřebujete. V tomto případě proto, že znáte hříchθa cosθjiž je jasné, že nejvhodnější výraz je:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Hodnoty sinθ a cosθ již znáte, nahraďte je tedy rovnicí:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Jakmile to zjednodušíte, budete mít:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
Většina trigonometrických grafů je uvedena v desetinných číslech, takže dále pracujte s rozdělením představovaným zlomkem a převeďte jej na desítkovou formu. Nyní máte:
\ sin (29) = 0,96
Nakonec najděte inverzní sinus nebo arkusinus 0,96, který se píše jako hřích −1(0.96). Nebo jinými slovy použijte kalkulačku nebo graf k přiblížení úhlu, který má sinus 0,96. Jak se ukázalo, je to téměř přesně 73,7 stupňů. Takže 2θ= 73,7 stupňů.
Vydělte každou stranu rovnice 2. To vám dává:
θ = 36,85 \ text {stupně}