S Super Bowl hned za rohem se sportovci a fanoušci světa pevně zaměřili na velkou hru. Ale pro _math_letes může velká hra připomenout malý problém týkající se možných skóre ve fotbalové hře. S omezenými možnostmi počtu bodů, které můžete získat, nelze jednoduše dosáhnout celkových součtů, ale co je nejvyšší? Pokud chcete vědět, co spojuje mince, fotbal a kuřecí nugetky McDonald’s, je to pro vás problém.
Matematický problém Super Bowl
Problém zahrnuje možné skóre, které by v neděli mohli dosáhnout Los Angeles Rams nebo New England Patriots bez bezpečnost nebo dvoubodový převod. Jinými slovy, přípustným způsobem, jak zvýšit jejich skóre, jsou 3bodové branky ze hřiště a 7bodové přistání. Bez jistot tedy nemůžete dosáhnout skóre 2 bodů ve hře s kombinací 3s a 7s. Podobně nemůžete dosáhnout ani skóre 4, ani skóre 5.
Otázkou je: Jaké je nejvyšší skóre? nemůže lze dosáhnout pouze 3bodovými brankami a 7bodovými přistáními?
Samozřejmě, přistání bez konverze mají hodnotu 6, ale protože se k tomu stejně můžete dostat se dvěma brankami, na problému to nezáleží. Jelikož se zde zabýváme matematikou, nemusíte si dělat starosti s taktikou konkrétního týmu nebo dokonce s omezením jeho schopnosti bodovat.
Zkuste to vyřešit sami, než budete pokračovat!
Hledání řešení (pomalá cesta)
Tento problém má několik složitých matematických řešení (podrobnosti najdete v části Zdroje, ale hlavní výsledek bude uveden níže), ale je to dobrý příklad toho, jak to není potřeboval najít odpověď.
Jediné, co musíte udělat, abyste našli řešení hrubou silou, je jednoduše vyzkoušet každé skóre postupně. Víme tedy, že nemůžete skóre 1 nebo 2, protože jsou méně než 3. Už jsme zjistili, že 4 a 5 nejsou možné, ale 6 ano, se dvěma brankami z pole. Po 7 (což je možné), můžete dosáhnout 8? Ani náhodou. Tři branky ze hry dávají 9 a branka ze hry a převedené přistání činí 10. Ale nemůžete dostat 11.
Od tohoto okamžiku malá práce ukazuje, že:
\ begin {aligned} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ end {zarovnáno}
A ve skutečnosti můžete takto pokračovat, jak dlouho chcete. Zdá se, že odpověď je 11. Ale je to tak?
Algebraické řešení
Matematici tyto problémy nazývají „problémy s mincemi Frobenius“. Původní forma související s mincemi, například: Pokud jste měli pouze mince v hodnotě 4 centy a 11 centů (ne skutečné mince, ale to jsou pro vás matematické problémy), co je největší částka peněz, kterou jste nemohli vyrobit.
Řešení z hlediska algebry spočívá v tom, že má jedno skóre p body a jedno skóre v hodnotě q body, nejvyšší skóre, které nemůžete získat (N) darováno:
N = pq \; - \; (p + q)
Zapojení hodnot z problému Super Bowl tedy dává:
\ begin {zarovnáno} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ end {zarovnáno}
Což je odpověď, kterou jsme dostali pomalou cestou. Co když byste mohli zaznamenat pouze přistání bez konverze (6 bodů) a přistání s jednobodovou konverzí (7 bodů)? Než budete číst dál, vyzkoušejte, zda můžete vzorec použít k jeho vypracování.
V tomto případě se vzorec stane:
\ begin {zarovnáno} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ end {zarovnáno}
Problém s kuřecím McNuggetem
Hra tedy skončila a vy chcete vítězný tým odměnit výletem do McDonald's. Ale McNuggets prodávají pouze v krabičkách po 9 nebo 20. Jaký je nejvyšší počet nugetů? nemůže koupit s těmito (zastaralými) čísly krabic? Než budete číst dál, zkuste použít vzorec k nalezení odpovědi.
Od té doby
N = pq \; - \; (p + q)
A s p = 9 a q = 20:
\ begin {zarovnáno} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ end {zarovnáno}
Takže za předpokladu, že jste kupovali více než 151 nugetů - vítězný tým bude pravděpodobně docela hladový - koneckonců si můžete koupit libovolný počet nugetů, které jste chtěli, s nějakou kombinací krabiček.
Možná se divíte, proč jsme se tohoto problému zabývali pouze dvoučíselnými verzemi. Co kdybychom začlenili pojistky nebo kdyby McDonalds prodával tři velikosti krabiček na nugetky? Tady je žádný jasný vzorec v tomto případě, a přestože lze vyřešit většinu jeho verzí, jsou některé aspekty otázky zcela nevyřešené.
Takže možná, když sledujete hru nebo jíte kousky kuřete, můžete tvrdit, že se snažíte vyřešit otevřený problém v matematice - stojí za to se pokusit dostat z práce!