Avektorje veličina, která má s sebou spojenou velikost i směr. To je jiné než askalárnímnožství, které odpovídá pouze velikosti. Rychlost je příkladem vektorové veličiny. Má jak velikost (jak rychle se něco děje), tak směr (směr, kterým se pohybuje).
Vektory jsou často kresleny jako šipky. Délka šipky odpovídá velikosti vektoru a bod šipky označuje směr.
Existují dva způsoby práce s sčítáním a odčítáním vektorů. První je graficky manipulací s šipkovými diagramy samotných vektorů. Druhá je matematická, která poskytuje přesné výsledky.
Sčítání a odčítání grafických vektorů v jedné dimenzi
Když přidáváte dva vektory, umístíte ocas druhého vektoru na špičku prvního vektoru při zachování orientace vektoru. Thevýsledný vektorje vektor, který začíná na konci prvního vektoru a směřuje přímou čarou ke špičce druhého vektoru.
Zvažte například přidání vektorůAaBkteré směřují stejným směrem podél čáry. Umístíme je „tip to tail“ a výsledný vektor,C, ukazuje stejným směrem a má délku, která je součtem délekAaB.
Odečtení vektorů v jedné dimenzi je v podstatě stejné jako přidání, kromě toho, že „převrátíte“ druhý vektor. To vyplývá přímo ze skutečnosti, že odčítání je stejné jako přidání záporné.
Sčítání a odčítání matematických vektorů v jedné dimenzi
Při práci v jedné dimenzi lze směr vektoru označit znaménkem. Vybereme jeden směr, který bude kladným směrem (typicky „nahoru“ nebo „pravý“ bude vybrán jako kladný), a libovolný vektor směřující tímto směrem přiřadíme jako kladnou veličinu. Libovolný vektor směřující záporným směrem je záporná veličina. Při sčítání nebo odčítání vektorů přidejte nebo odečtěte jejich velikosti s připojenými příslušnými znaménky.
Předpokládejme v předchozí části vektorAměl velikost 3 a vektorBměl velikost 5. Potom výsledný vektorC = A + B =8, vektor velikosti 8 směřující v kladném směru a výsledný vektorD = A - B =-2, vektor velikosti 2 směřující v záporném směru. Toto je v souladu s grafickými výsledky z minulosti.
Tip: Dávejte pozor, abyste přidali pouze vektory stejného typu: rychlost + rychlost, síla + síla atd. Stejně jako u všech matematiků ve fyzice se jednotky musí shodovat!
Sčítání a odčítání grafických vektorů ve dvou dimenzích
Pokud první vektor a druhý vektor nejsou ve stejné linii v kartézském prostoru, můžete je použít nebo přidat stejnou metodou „tip to tail“. Chcete-li přidat dva vektory, jednoduše si představte zvednutí druhého a umístění jeho ocasu ke špičce prvního při zachování jeho orientace, jak je znázorněno. Výsledným vektorem je šipka začínající na konci prvního vektoru a končící na špičce druhého vektoru:
Stejně jako v jedné dimenzi je odečtení jednoho vektoru od druhého ekvivalentní převrácení a přidání. Graficky to vypadá takto:
•••Dana Chen | Vědění
Poznámka: Někdy se sčítání vektorů zobrazuje graficky tak, že se spojí ocasy dvou sčítacích vektorů a vytvoří se rovnoběžník. Výsledný vektor je pak úhlopříčka tohoto rovnoběžníku.
Sčítání a odčítání matematických vektorů ve dvou dimenzích
Chcete-li matematicky sčítat a odečítat vektory ve dvou dimenzích, postupujte takto:
Rozložte každý vektor naX-komponenta, někdy nazývaná horizontální komponenta, ay-komponenta, někdy nazývaná vertikální komponenta, pomocí trigonometrie. (Všimněte si, že komponenty mohou být buď záporné, nebo kladné podle toho, kterým směrem vektor směřuje)
PřidatX-komponenty obou vektorů dohromady a poté přidejtey-komponenty obou vektorů dohromady. Tento výsledek vám dáváXaysložky výsledného vektoru.
Velikost výsledného vektoru lze zjistit pomocí Pythagorovy věty.
Směr výsledného vektoru lze zjistit pomocí trigonometrie pomocí funkce inverzní tangenty. Tento směr se obvykle udává jako úhel vzhledem ke kladnémuX-osa.
Trigonometrie v přidání vektoru
Vzpomeňte si na vztahy mezi stranami a úhly pravoúhlého trojúhelníku z trigonometrie.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Pythagorova věta:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Pohyb střely poskytuje klasické příklady toho, jak bychom mohli tyto vztahy použít k rozložení vektoru a určení konečné velikosti a směru vektoru.
Zvažte dva lidi hrající chytač. Předpokládejme, že vám bylo řečeno, že míč je hozen z výšky 1,3 m rychlostí 16 m / s pod úhlem 50 stupňů s vodorovnou rovinou. Chcete-li začít analyzovat tento problém, budete muset rozložit tento počáteční vektor rychlosti naXaykomponenty, jak je znázorněno:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ times \ cos (50) = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ times \ sin (50) = 12,3 \ text {m / s}
Pokud chytač míček mine a dopadne na zem, jakou konečnou rychlostí zasáhne?
Pomocí kinematických rovnic jsme schopni určit, že konečné složky rychlosti koule jsou:
v_ {xf} = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13,3 \ text {m / s}
Pythagorova věta nám umožňuje najít velikost:
v_ {f} = \ sqrt {(10,3) ^ 2 + (-13,3) ^ 2} = 16,8 \ text {m / s}
A trigonometrie nám umožňuje určit úhel:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ velký (\ frac {-13,3} {10,3} \ velký) = - 52,2 \ stupeň
Příklad vektorového sčítání a odčítání
Zvažte auto za zatáčkou. Předpokládatprotiiprotože auto je vX-směr s velikostí 10 m / s aprotiFje v úhlu 45 stupňů s klademX-osy o síle 10 m / s. Pokud k této změně pohybu dojde za 3 sekundy, jaká je velikost a směr zrychlení automobilu při jeho otáčení?
Vzpomeňte si na to zrychleníAje vektorová veličina definovaná jako:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
KdeprotiFaprotiijsou konečné a počáteční rychlosti (a tedy také vektorové veličiny).
Za účelem výpočtu vektorového rozdíluprotiF - protii,nejprve musíme rozložit vektory počáteční a konečné rychlosti:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7,07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7,07 \ text {m / s}
Potom odečteme fináleXaykomponenty od počátečníhoXaykomponenty získat komponentyprotiF - protii:
Pak odečtemeXaykomponenty:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7,07-10 = -2,93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7,07 -0 = 7,07 \ text {m / s}
Poté rozdělte každý čas, abyste získali komponenty vektoru zrychlení:
a_x = \ frac {-2,93} {3} = - 0,977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7,07} {3} = 2,36 \ text {m / s} ^ 2
Pomocí Pythagorovy věty vyhledejte velikost vektoru zrychlení:
a = \ sqrt {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ text {m / s} ^ 2
Nakonec použijte trigonometrii k vyhledání směru vektoru zrychlení:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {2.36} {- 0,977} \ Big) = 113 \ stupeň