Fyzici porovnávají momenty setrvačnosti rotujících objektů, aby zjistili, které z nich bude obtížnější zrychlit nebo zpomalit. To platí pro situace v reálném světě, jako je zjištění, které objekty se budou v závodě házet nejrychleji.
Faktory, které mění moment setrvačnosti objektu, jsou jeho hmotnost, způsob distribuce této hmoty - určený jeho tvarem a poloměrem - a osa otáčení, na které se otáčí.
Okamžiky setrvačnosti pro společné objekty
Tento diagram ukazuje rovnice momentu setrvačnosti pro několik běžných tvarů rotujících kolem různých os rotace.
Porovnání momentů setrvačnosti
Zde je několik příkladů fyzikálních problémů, které vyžadují použití momentů setrvačnosti k porovnání různých objektů.
1. Kterou z následujících možností bude nejjednodušší začít točit: 7 kg dutá koule o poloměru 0,2 m nebo 10 kg pevná koule stejného poloměru?
Začněte hledáním momentů setrvačnosti pro každý objekt. Podle tabulky platí rovnice pro adutá kouleje:I = 2 / 3mr2a rovnice pro apevná koulejeI = 2 / 5mr2.
Nahrazení daných hmotností a poloměrů:
Dutá koule: I = 2/3 (7 kg) (0,2 m)2 = 0.19 kgm2
Pevný koule: I = 2/5 (10 kg) (0,2 m)2 = 0.16 kgm2
Moment setrvačnosti jemenší pro pevnou sféru, tak to budenejjednodušší začít točit.
2. Jakým způsobem je nejtěžší otáčet tužkou: kolem její délky, kolem jejího středu nebo konce přes konec? Předpokládejme, že tužka má délku 10 cm (0,1 m) a poloměr průřezu 3 mm (0,003 m).
V tomto případě nezáleží na hmotnosti tužky ve srovnání, protože se nemění.
Chcete-li zjistit, které rovnice platí, přibližte tvar tužky jako válce.
Tři nezbytné momenty setrvačných rovnic jsou:
Válec o jeho délce(osa prochází celou věcí, od špičky po gumu, takže poloměr k ose otáčeníjepoloměr průřezu):
I = \ frac {1} {2} mr ^ 2 = \ frac {1} {2} m (0,003) ^ 2 = 0,0000045m
Válec kolem jeho středu(drženo uprostřed, takže poloměr jeho rotace jepolovina jeho délky):
I = \ frac {1} {12} mr ^ 2 = \ frac {1} {12} m (0,05) ^ 2 = 0,0002083m
Válec kolem jeho konce(drženo špičkou nebo gumou, takže poloměr k ose otáčeníjejeho délka):
I = \ frac {1} {3} mr ^ 2 = \ frac {1} {3} m (0,1) ^ 2 = 0,003333m
Čím vyšší je moment setrvačnosti objektu, tím těžší je zahájit (nebo zastavit) jeho rotaci.Protože každá hodnota je vynásobena stejnoum, čím větší je hodnota zlomku vynásobená r2, tím vyšší bude moment setrvačnosti. V tomto případě to je 0,0033333> 0,0002083> 0,0000045těžší otáčet tužkou kolem jejího koncenež kolem ostatních dvou os.
3. Který objekt dosáhne dna rampy jako první, pokud budou mít všechny stejnou hmotnost a poloměr a budou všechny uvolněny z vrcholu současně: obruč, válec nebo pevná koule? Ignorujte tření.
Klíčem k řešení tohoto problému je pochopeníuchování energie. Pokud mají všechny objekty stejnou hmotnost a začínají ve stejné výšce, musí začínat stejným množstvímgravitační potenciální energie. To jecelková energiemají k dispozici pro přeměnu na kinetickou energii a pohyb po rampě.
Protože objekty budou sjíždět po rampě, musí přeměňovat svoji počáteční potenciální energii na oběrotační a lineární kinetické energie.
Tady je háček: čím více energie z tohoto celkového koláče vezme objektzačít točit, tím méně bude mít k dispozici prolineární pohyb. To znamenáčím snazší je nechat objekt kutálet, tím rychleji se bude lineárně pohybovat po rampě a závod vyhraje.
Poté, protože všechny hmotnosti a poloměry jsou stejné, pouhé srovnání zlomků před každým okamžikem setrvačné rovnice odhalí odpověď:
Pevná koule: I =2/5pan2
Obruč kolem osy: I = pan2
Plný válec o své délce: I =1/2pan2
Od nejmenšího po největší moment setrvačnosti, a takprvní až poslední, aby dosáhli dna: koule, válec, obruč.