Kinematické rovnice popisují pohyb objektu procházejícího konstantním zrychlením. Tyto rovnice se týkají proměnných času, polohy, rychlosti a zrychlení pohybujícího se objektu, což umožňuje řešení kterékoli z těchto proměnných, pokud jsou známy ostatní.
Níže je znázornění objektu podstupujícího konstantní zrychlovací pohyb v jedné dimenzi. Proměnná t je na čas, pozice je X, rychlost proti a zrychlení A. Dolní indexy i a F znamená „počáteční“ a „konečný“. Předpokládá se, že t = 0 at Xi a protii.
(Vložit obrázek 1)
Seznam kinematických rovnic
Níže jsou uvedeny tři primární kinematické rovnice, které platí při práci v jedné dimenzi. Jedná se o rovnice:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + v \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 v ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Poznámky k kinematickým rovnicím
- Tyto rovnice pracují pouze s konstantním zrychlením (které může být nulové v případě konstantní rychlosti).
- V závislosti na tom, který zdroj čtete, nemusí mít konečná množství dolní index F, a / nebo mohou být ve funkci označeny jako x (t) - číst „X jako funkce času “nebo„X v čase t" - a v (t). Všimněte si, že x (t) neznamená X vynásobeno t!
-
Někdy množství XF - Xi je psáno
Δx, což znamená „změna v X, “Nebo dokonce jednoduše d, což znamená posunutí. Všechny jsou rovnocenné. Poloha, rychlost a zrychlení jsou vektorové veličiny, což znamená, že s nimi souvisí směr. V jedné dimenzi je směr obvykle označen znaménky - kladné veličiny jsou v kladném směru a záporné veličiny jsou v záporném směru. Dolní indexy: „0“ může být použito pro počáteční polohu a rychlost místo i. Tato „0“ znamená „v t = 0, “a X0 a proti0 se obvykle vyslovují „x-nic“ a „v-nic“. * Pouze jedna z rovnic nezahrnuje čas. Při psaní daností a určování, jakou rovnici použít, je to klíčové!
Zvláštní případ: Volný pád
Pohyb volným pádem je pohyb objektu zrychlujícího se samotnou gravitací při absenci odporu vzduchu. Platí stejné kinematické rovnice; hodnota zrychlení blízko zemského povrchu je však známa. Velikost tohoto zrychlení často představuje G, kde g = 9,8 m / s2. Směr tohoto zrychlení je dolů, směrem k povrchu Země. (Pamatujte, že některé zdroje mohou být přibližné G jako 10 m / s2a další mohou použít hodnotu, která je přesná na více než dvě desetinná místa.)
Strategie řešení problémů pro kinematické problémy v jedné dimenzi:
Načrtněte diagram situace a vyberte vhodný souřadnicový systém. (Odvolej to X, proti a A jsou všechny vektorové veličiny, takže přiřazením jasného kladného směru bude snazší sledovat znaménka.)
Napište seznam známých množství. (Pozor, známé věci někdy nejsou zřejmé. Hledejte fráze jako „začíná z klidu“, to znamená protii = 0, nebo „dopadne na zem“, to znamená XF = 0 atd.)
Určete, jaké množství má otázka najít. Pro co je neznáma, kterou budete řešit?
Vyberte příslušnou kinematickou rovnici. Bude to rovnice, která obsahuje vaše neznámé množství spolu se známými veličinami.
Vyřešte rovnici pro neznámou veličinu, poté připojte známé hodnoty a vypočítejte konečnou odpověď. (Dávejte pozor na jednotky! Někdy budete muset před výpočtem převést jednotky.)
Příklady jednorozměrné kinematiky
Příklad 1: Reklama tvrdí, že sportovní vůz může zrychlit z 0 na 60 mph za 2,7 sekundy. Jaké je zrychlení tohoto vozu v m / s2? Jak daleko to cestuje během těchto 2,7 sekundy?
Řešení:
(Vložit obrázek 2)
Známá a neznámá množství:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2,7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
První část otázky vyžaduje řešení pro neznámé zrychlení. Zde můžeme použít rovnici # 1:
v_f = v_i + at \ implikuje a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Než však připojíme čísla, musíme převést 60 mph na m / s:
60 \ cancel {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0,477 \ text {m / s}} {\ cancel {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26,8 \ text {m / s}
Zrychlení tedy je:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ podtržítko {\ tučné {9,93} \ text {m / s} ^ 2}
Abychom zjistili, jak daleko to za tu dobu jde, můžeme použít rovnici # 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 at ^ 2 = \ frac 1 2 \ times 9,93 \ times 2,7 ^ 2 = \ underline {\ bold {36.2} \ text {m}}
Příklad 2: Míč je vrhán rychlostí 15 m / s z výšky 1,5 m. Jak rychle to jde, když dopadne na zem? Jak dlouho trvá, než dopadne na zem?
Řešení:
(Vložit obrázek 3)
Známá a neznámá množství:
x_i = 1,5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9,8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
K vyřešení první části můžeme použít rovnici # 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ implikuje v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Vše je již v konzistentních jednotkách, takže můžeme připojit hodnoty:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9,8) (0-1,5)} = \ pm \ sqrt {254,4} \ přibližně \ pm16 \ text {m / s}
Zde jsou dvě řešení. Který je správný? Z našeho diagramu vidíme, že konečná rychlost by měla být záporná. Odpověď tedy zní:
v_f = \ podtržítko {\ bold {-16} \ text {m / s}}
K řešení času můžeme použít buď rovnici # 1, nebo rovnici # 2. Protože s rovnicí # 1 je jednodušší pracovat, použijeme tuto:
v_f = v_i + at \ implikuje t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9,8} \ přibližně \ podtržítko {\ bold {3.2} \ text {s }}
Všimněte si, že odpověď na první část této otázky nebyla 0 m / s. I když je pravda, že poté, co míč dopadne, bude mít 0 rychlost, tato otázka chce vědět, jak rychle to jde v tom zlomku sekundy před dopadem. Jakmile se míč dotkne země, naše kinematické rovnice již neplatí, protože zrychlení nebude konstantní.
Kinematické rovnice pro pohyb střely (dvě dimenze)
Projektil je objekt pohybující se ve dvou dimenzích pod vlivem gravitace Země. Jeho dráha je parabola, protože jediné zrychlení je způsobeno gravitací. Kinematické rovnice pro pohyb střely mají mírně odlišnou formu od kinematických rovnic uvedených výše. Využíváme skutečnost, že komponenty pohybu, které jsou na sebe kolmé - například vodorovná X směru a vertikále y směr - jsou nezávislé.
Strategie řešení problémů pro problémy kinematiky pohybu střel:
Načrtněte diagram situace. Stejně jako u jednorozměrného pohybu je užitečné načrtnout scénář a označit souřadnicový systém. Místo použití štítků X, proti a A pro polohu, rychlost a zrychlení potřebujeme způsob označení pohybu v každé dimenzi zvlášť.
Pro horizontální směr je nejběžnější použití X pro pozici a protiX pro složku x rychlosti (všimněte si, že zrychlení je v tomto směru 0, takže pro ni nepotřebujeme proměnnou.) V y směr, je nejběžnější použít y pro pozici a protiy pro y-složku rychlosti. Zrychlení lze označit Ay nebo můžeme použít fakt, že víme, že gravitační zrychlení je G v záporném směru ya použijte to místo toho.
Napište seznam známých a neznámých veličin rozdělením úlohy na dvě části: vertikální a horizontální pohyb. Pomocí trigonometrie vyhledejte složky x a y libovolných vektorových veličin, které neleží podél osy. Může být užitečné vypsat to do dvou sloupců:
(vložte tabulku 1)
Poznámka: Pokud je rychlost uvedena jako velikost společně s úhlem, Ѳ, nad vodorovnou rovinu, pak použijte vektorový rozklad, protiX= vcos (Ѳ) a protiy= vsin (Ѳ).
Můžeme uvažovat o našich třech kinematických rovnicích z minulosti a přizpůsobit je směrům x a y.
Směr X:
x_f = x_i + v_xt
Směr Y:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2 g (y_f - y_i)
Všimněte si, že zrychlení v y směr je -g, pokud předpokládáme, že je pozitivní. Běžná mylná představa je, že g = -9,8 m / s2, ale to je nesprávné; G sám o sobě je prostě velikost zrychlení: g = 9,8 m / s2, takže musíme určit, že zrychlení je záporné.
Vyřešte jednu neznámou v jedné z těchto dimenzí a poté připojte to, co je běžné v obou směrech. Zatímco pohyb ve dvou dimenzích je nezávislý, děje se na stejné časové škále, takže časová proměnná je v obou dimenzích stejná. (Čas potřebný k tomu, aby míč podstoupil svislý pohyb, je stejný jako čas potřebný k podstoupení jeho vodorovného pohybu.)
Příklady kinematiky pohybu projektilu
Příklad 1: Projektil je vypuštěn horizontálně z útesu o výšce 20 m s počáteční rychlostí 50 m / s. Jak dlouho trvá, než dopadne na zem? Jak daleko od základny útesu přistává?
(vložte obrázek 4)
Známá a neznámá množství:
(vložte tabulku 2)
Čas potřebný k dopadu na zem můžeme najít pomocí druhé rovnice vertikálního pohybu:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ implikuje t = \ sqrt {\ frac {(2 \ krát 20)} g} = \ podtržení {\ tučné {2.02} \ text {s} }
Pak zjistit, kde přistane, XF, můžeme použít rovnici vodorovného pohybu:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ podtržítko {\ tučné {101} \ text {s}}
Příklad 2: Míč je vypuštěn rychlostí 100 m / s od úrovně terénu pod úhlem 30 stupňů s horizontálou. Kde přistane? Kdy je jeho rychlost nejmenší? Jaké je jeho umístění v tuto chvíli?
(vložte obrázek 5)
Známá a neznámá množství:
Nejprve musíme rozdělit vektor rychlosti na komponenty:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ přibližně 86,6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ textová zpráva {m / s}
Naše tabulka množství je pak:
(vložte tabulku 3)
Nejprve musíme zjistit čas, kdy je míč v letu. Můžeme to udělat s druhou vertikální rovnicí_. Všimněte si, že k určení konečné _y používáme symetrii paraboly rychlost je záporná hodnota počáteční hodnoty:
Poté určíme, jak daleko se pohybuje v X směr v této době:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ krát 10,2 \ přibližně \ podtržení {\ bold {883} \ text m}
Pomocí symetrie parabolické dráhy můžeme určit, že rychlost je nejmenší v 5,1 s, když je střela na vrcholu svého pohybu a vertikální složka rychlosti je 0. Složky x a y jejího pohybu v tomto okamžiku jsou:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ krát 5,1 \ přibližně \ podtržení {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ krát5,1- \ frac 1 2 9,8 \ krát 5,1 ^ 2 \ přibližně \ podtržení {\ tučné {128} \ text {m}}
Odvození kinematických rovnic
Rovnice # 1: Pokud je zrychlení konstantní, pak:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Při řešení rychlosti máme:
v_f = v_i + v
Rovnice # 2: Průměrnou rychlost lze zapsat dvěma způsoby:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Pokud nahradíme _vF _s výrazem z rovnice # 1 dostaneme:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Řešení pro XF dává:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 v ^ 2
Rovnice # 3: Začněte řešením pro t v rovnici # 1
v_f = v_i + at \ implikuje t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Připojte tento výraz pro t ve vztahu průměrné rychlosti:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ implikuje \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Přeskupení tohoto výrazu dává:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)