Euklidovská vzdálenost je vzdálenost mezi dvěma body v euklidovském prostoru. Euklidovský prostor původně vymyslel řecký matematik Euklid kolem roku 300 př. N. L. studovat vztahy mezi úhly a vzdálenostmi. Tento systém geometrie se dodnes používá a je to ten, který studenti středních škol nejčastěji studují. Euklidovská geometrie se konkrétně vztahuje na prostory dvou a tří dimenzí. Lze jej však snadno zobecnit na dimenze vyššího řádu.
Vypočítejte euklidovskou vzdálenost pro jednu dimenzi. Vzdálenost mezi dvěma body v jedné dimenzi je jednoduše absolutní hodnotou rozdílu mezi jejich souřadnicemi. Matematicky je to zobrazeno jako | p1 - q1 | kde p1 je první souřadnice prvního bodu a q1 je první souřadnice druhého bodu. Použijeme absolutní hodnotu tohoto rozdílu, protože vzdálenost se obvykle považuje pouze za nezápornou hodnotu.
Vezměte dva body P a Q ve dvourozměrném euklidovském prostoru. Popíšeme P se souřadnicemi (p1, p2) a Q se souřadnicemi (q1, q2). Nyní vytvořte úsečku s koncovými body P a Q. Tento úsečka bude tvořit přeponu pravoúhlého trojúhelníku. Při rozšiřování výsledků získaných v kroku 1 si povšimněte, že délky ramen tohoto trojúhelníku jsou dány | p1 - q1 | a | p2 - q2 |. Vzdálenost mezi dvěma body bude poté dána délkou přepony.
Pomocí Pythagorovy věty určete délku přepony v kroku 2. Tato věta říká, že c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, kde c je délka přepony pravého trojúhelníku a a, b jsou délky ostatních dvou větví. To nám dává c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Vzdálenost mezi 2 body P = (p1, p2) a Q = (q1, q2) ve dvourozměrném prostoru je tedy ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Rozšiřte výsledky kroku 3 do trojrozměrného prostoru. Vzdálenost mezi body P = (p1, p2, p3) a Q = (q1, q2, q3) lze potom určit jako ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Zobecněte řešení v kroku 4 na vzdálenost mezi dvěma body P = (p1, p2,..., pn) a Q = (q1, q2,..., qn) v n rozměrech. Toto obecné řešení lze dát jako ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).