Zákony kyvadlového pohybu

Kyvadla mají zajímavé vlastnosti, které fyzici používají k popisu jiných objektů. Například planetární oběžná dráha sleduje podobný vzorec a houpání na houpačce může mít pocit, že jste na kyvadle. Tyto vlastnosti pocházejí z řady zákonů, které řídí pohyb kyvadla. Když se naučíte tyto zákony, můžete začít chápat některé základní principy fyziky a pohybu obecně.

Pohyb kyvadla lze popsat pomocí

ve kterémθpředstavuje úhel mezi strunou a svislou čarou dole uprostřed,tpředstavuje čas aTje doba, doba nezbytná k tomu, aby došlo k jednomu úplnému cyklu pohybu kyvadla (měřeno jako1 / f), návrhu na kyvadlo.

​Jednoduchý harmonický pohyb, nebo pohyb, který popisuje, jak rychlost objektu kmitá úměrně k velikosti posunutí z rovnováhy, lze použít k popisu rovnice kyvadla. Kyvadlo kyvadla je udržováno v pohybu touto silou, která na něj působí při pohybu tam a zpět.

•••Syed Hussain Ather

Zákony, kterými se řídí pohyb kyvadla, vedly k objevení důležité vlastnosti. Fyzici rozdělují síly na vertikální a horizontální složku. V kyvadlovém pohybu,

To ukazuje, že hmotnost kyvadla nemá žádný význam pro jeho pohyb, ale vodorovné napětí struny ano. Jednoduchý harmonický pohyb je podobný kruhovému pohybu. Můžete popsat objekt pohybující se po kruhové dráze, jak je znázorněno na obrázku výše, určením úhlu a poloměru, který zaujímá v odpovídající kruhové dráze. Potom pomocí trigonometrie pravého trojúhelníku mezi středem kruhu, polohou objektu a posunem v obou směrech x a y najdete rovnicex = rsin (θ)ay = rcos (θ).​

Jednorozměrná rovnice objektu v jednoduchém harmonickém pohybu je dána vztahemx = r cos (ωt).Můžete dále nahraditAprorve kterémAjeamplituda, maximální posunutí z počáteční polohy objektu.

Úhlová rychlostωs ohledem na častpro tyto úhlyθdarovánoθ = ωt. Pokud nahradíte rovnici, která spojuje úhlovou rychlost s frekvencíF​, ​ω = 2​​πf, si dokážete představit tento kruhový pohyb, pak jako součást kyvadla houpajícího se tam a zpět, pak výsledná jednoduchá harmonická pohybová rovnice je

•••Syed Hussain Ather

Kyvadla, jako masy na jaře, jsou příkladyjednoduché harmonické oscilátory: Existuje obnovovací síla, která se zvyšuje v závislosti na tom, jak je kyvadlo posunuto, a jejich pohyb lze popsat pomocíjednoduchá rovnice harmonického oscilátoru​

ve kterémθpředstavuje úhel mezi strunou a svislou čarou dole uprostřed,tpředstavuje čas aTjedoba, čas potřebný pro jeden úplný cyklus pohybu kyvadla (měřeno pomocí1 / f), návrhu na kyvadlo.

​θ_maxje další způsob, jak definovat maximum, které úhel osciluje během pohybu kyvadla, a je dalším způsobem, jak definovat amplitudu kyvadla. Tento krok je vysvětlen níže v části „Definice jednoduchého kyvadla“.

Dalším důsledkem zákonů jednoduchého kyvadla je to, že doba oscilace s konstantní délkou je nezávislá na velikosti, tvaru, hmotnosti a materiálu předmětu na konci řetězce. To je jasně ukázáno pomocí jednoduché derivace kyvadla a výsledných rovnic.

Rovnici můžete určit pro ajednoduché kyvadlo, definice, která závisí na jednoduchém harmonickém oscilátoru, od řady kroků začínajících pohybovou rovnicí pro kyvadlo. Protože gravitační síla kyvadla se rovná síle pohybu kyvadla, můžete si je navzájem nastavit pomocí druhého Newtonova zákona s hmotností kyvadlaM, délka řetězceL, úhelθ,gravitační zrychleníGa časový intervalt​.

•••Syed Hussain Ather

Nastavili jste Newtonův druhý zákon na okamžik setrvačnostiI = pan²na nějakou mšima poloměr kruhového pohybu (v tomto případě délka řetězce)rnásobek úhlového zrychleníα​.

1. ​ΣF = Ma: Newtonův druhý zákon stanoví, že čistá sílaΣFna objektu se rovná hmotnosti objektu vynásobené zrychlením.
2. ​Ma = I α: To vám umožní nastavit sílu gravitačního zrychlení (-Mg sin (θ) L)rovná se síle rotace
   
3. ​-Mg sin (θ) L = Já α​: Směr vertikální síly můžete zjistit díky gravitaci (-Mg) výpočtem zrychlení jakosin (θ) L-lisin (θ) = d / lpro nějaké vodorovné posunutída úhelθ​ vysvětlit směr.
   
4. ​-Mg sin (θ) L = ML² α: Rovnici nahradíte momentem setrvačnosti rotujícího tělesa pomocí délky řetězce L jako poloměru.
   
5. ​-Mg sin (θ) L = -ML²​​d²θ / dt: Účet pro úhlové zrychlení dosazením druhé derivace úhlu vzhledem k času proα.Tento krok vyžaduje kalkul a diferenciální rovnice.
   
6. ​d²θ / dt² + (g / L) sinθ = 0: Můžete to získat přeuspořádáním obou stran rovnice
   
7. ​d²θ / dt² + (g / L) θ = 0: Můžete přibližněhřích (θ)tak jakoθpro účely jednoduchého kyvadla při velmi malých úhlech oscilace
   
8. ​θ (t) = θ_maxcos (t (L / g))²): Pohybová rovnice má toto řešení. Můžete to ověřit tím, že vezmete druhou derivaci této rovnice a budete pracovat na kroku 7.

Existují i ​​jiné způsoby, jak provést jednoduchou derivaci kyvadla. Pochopte význam každého kroku a podívejte se, jak spolu souvisejí. Pomocí těchto teorií můžete popsat jednoduchý pohyb kyvadla, ale měli byste také vzít v úvahu další faktory, které mohou ovlivnit jednoduchou teorii kyvadla.

Pokud porovnáte výsledek tohoto odvození

k rovnici jednoduchého harmonického oscilátorubPokud je nastavíte navzájem rovně, můžete odvodit rovnici pro období T:

Všimněte si, že tato rovnice nezávisí na hmotnostiMkyvadla, amplitudaθ_max, ani na čast. To znamená, že období je nezávislé na hmotnosti, amplitudě a čase, ale místo toho se spoléhá na délku řetězce. Poskytne vám stručný způsob vyjádření pohybu kyvadla.

S rovnicí pro období můžete rovnici uspořádat a získat ji

a nahradit 1 sTa9,8 m / s²proGzískatL =0,0025 m. Mějte na paměti, že tyto rovnice teorie jednoduchého kyvadla předpokládají, že délka řetězce je bez tření a bez masy. Vzít v úvahu tyto faktory by vyžadovalo složitější rovnice.

Úhel kyvadla můžete vytáhnoutθnechat ho houpat se tam a zpět, aby viděl, jak to kmitá, jako by mohla pružina. Pro jednoduché kyvadlo ho můžete popsat pomocí pohybových rovnic jednoduchého harmonického oscilátoru. Pohybová rovnice funguje dobře pro menší hodnoty úhlu aamplituda, maximální úhel, protože jednoduchý model kyvadla se spoléhá na to, že je to přibližnéhřích (θ)​ ≈ ​θpro nějaký úhel kyvadlaθ.Vzhledem k tomu, že hodnoty úhly a amplitudy jsou větší než asi 20 stupňů, tato aproximace také nefunguje.

Vyzkoušejte si to sami. Kyvadlo kyvné s velkým počátečním úhlemθnebude oscilovat tak pravidelně, aby vám umožnil použít jednoduchý harmonický oscilátor k jeho popisu. V menším počátečním úhluθ, kyvadlo se mnohem snadněji přibližuje pravidelnému oscilačnímu pohybu. Protože hmotnost kyvadla nemá žádný vliv na jeho pohyb, fyzici dokázali, že všechna kyvadla mají stejnou dobu pro kmitání úhly - úhel mezi středem kyvadla v nejvyšším bodě a středem kyvadla v zastavené poloze - méně než 20 stupňů.

Pro všechny praktické účely kyvadla v pohybu se kyvadlo nakonec zpomalí a zastaví se kvůli tření mezi strunou a jejím upevněným bodem výše a také kvůli odporu vzduchu mezi kyvadlem a vzduchem kolem toho.

U praktických příkladů pohybu kyvadla bude doba a rychlost záviset na typu použitého materiálu, který by způsobil tyto příklady tření a odporu vzduchu. Pokud provádíte výpočty teoretického oscilačního chování kyvadla bez zohlednění těchto sil, bude to počítat s kyvadlem nekonečně kmitajícím.

Newtonův první zákon definuje rychlost objektů v reakci na síly. Zákon stanoví, že pokud se objekt pohybuje určitou rychlostí a po přímce, bude se pohybovat touto rychlostí a po přímce nekonečně, pokud na něj nepůsobí žádná jiná síla. Představte si, že hodíte míč přímo vpřed - pokud by na něj nepůsobil odpor vzduchu a gravitace, mířil by znovu a znovu kolem Země. Tento zákon ukazuje, že jelikož se kyvadlo pohybuje ze strany na stranu a ne nahoru a dolů, nemá na něj působící síly nahoru a dolů.

Newtonův druhý zákon se používá při určování čisté síly na kyvadlo nastavením gravitační síly rovné síle struny, která táhne zpět na kyvadlo. Nastavením těchto rovnic na sebe můžete odvodit pohybové rovnice kyvadla.

Newtonův třetí zákon stanoví, že každá akce má reakci stejné síly. Tento zákon pracuje s prvním zákonem, který ukazuje, že ačkoliv hmotnost a gravitace ruší vertikální složku vektoru napětí strun, nic nezruší horizontální složku. Tento zákon ukazuje, že síly působící na kyvadlo se mohou navzájem rušit.

Fyzici používají Newtonův první, druhý a třetí zákon k prokázání, že vodorovné napětí strun pohybuje kyvadlem bez ohledu na hmotnost nebo gravitaci. Zákony jednoduchého kyvadla se řídí myšlenkami tří Newtonových zákonů pohybu.