Pendule jsou v našich životech docela běžné: možná jste viděli dědečkovy hodiny s dlouhým kyvadlem, které pomalu kmitaly, jak čas běží. Hodiny potřebují funkční kyvadlo, aby mohly správně posunout číselníky na ciferníku, které zobrazují čas. Je tedy pravděpodobné, že hodinář potřebuje pochopit, jak vypočítat periodu kyvadla.
Vzorec kyvadlového období,T, je poměrně jednoduchý:
T = \ sqrt {\ frac {L} {g}}
kdeGje gravitační zrychlení aLje délka provázku připevněného k bobu (nebo hmotě).
Rozměry tohoto množství jsou jednotka času, například sekundy, hodiny nebo dny.
Podobně frekvence kmitání,F, je 1 /Tnebo
f = \ sqrt {\ frac {g} {L}}
který vám řekne, kolik oscilací proběhne za jednotku času.
Na hmotě nezáleží
Skutečně zajímavá fyzika za tímto vzorcem pro období kyvadla spočívá v tom, že na hmotnosti nezáleží! Když je tento periodický vzorec odvozen z pohybové rovnice kyvadla, závislost hmotnosti cívky se zruší. I když se to zdá být neintuitivní, je důležité si uvědomit, že hmotnost bobu nemá na období kyvadla vliv.
... ale tato rovnice funguje pouze ve zvláštních podmínkách
Je důležité si uvědomit, že tento vzorec funguje pouze pro „malé úhly“.
Co je tedy malý úhel a proč tomu tak je? Důvod pro to vyplývá z odvození pohybové rovnice. Aby bylo možné odvodit tento vztah, je nutné použít aproximaci malého úhlu na funkci: sine ofθ, kdeθje úhel bobu vzhledem k nejnižšímu bodu v jeho trajektorii (obvykle stabilní bod ve spodní části oblouku, který sleduje, když osciluje tam a zpět.)
Aproximaci malého úhlu lze provést, protože pro malé úhly je sinusθse téměř rovnáθ. Pokud je úhel oscilace velmi velký, aproximace již neplatí a je nutná jiná derivace a rovnice pro období kyvadla.
Ve většině případů v úvodní fyzice stačí periodická rovnice.
Několik jednoduchých příkladů
Vzhledem k jednoduchosti rovnice a skutečnosti, že ze dvou proměnných v rovnici je jedna fyzikální konstantou, existují jednoduché vztahy, které můžete mít v zadní kapse!
Gravitační zrychlení je9,8 m / s2, takže u jednoho metru dlouhého kyvadla je období
T = \ sqrt {\ frac {1} {9.8}} = 0,32 \ text {sekundy}
Takže teď, když vám řeknu, že kyvadlo má 2 metry? Nebo 4 metry? Pohodlné zapamatování si tohoto čísla je, že tento výsledek můžete jednoduše škálovat pomocí druhá odmocnina číselného faktoru zvýšení, protože znáte periodu dlouhou jeden metr kyvadlo.
Takže na 1 milimetr dlouhé kyvadlo? Vynásobte 0,32 sekundy druhou odmocninou 10-3 metrů, a to je vaše odpověď!
Měření periody kyvadla
Periodu kyvadla můžete snadno změřit následujícím způsobem.
Postavte si kyvadlo podle potřeby, jednoduše změřte délku provázku od bodu, kde je připevněn k podpěře, ke středu hmoty bobu. Pomocí vzorce můžete nyní vypočítat období. Můžeme však také jednoduše načasovat oscilaci (nebo několik, a poté rozdělit čas, který jste změřili, počtem měřených oscilací) a porovnat to, co jste změřili, s tím, co vám dal vzorec.
Jednoduchý experiment s kyvadlem!
Dalším jednoduchým experimentem s kyvadlem je použití kyvadla k měření lokálního gravitačního zrychlení.
Namísto použití průměrné hodnoty9,8 m / s2, změřte délku svého kyvadla, změřte periodu a poté vyřešte gravitační zrychlení. Vezměte stejné kyvadlo až na vrchol kopce a proveďte měření znovu.
Všimli jste si změny? Kolik změny výšky musíte dosáhnout, abyste si všimli změny v místním gravitačním zrychlení? Vyzkoušej to!