Les équations à valeur absolue peuvent être un peu intimidantes au début, mais si vous persévérez, vous les résoudrez bientôt facilement. Lorsque vous essayez de résoudre des équations de valeur absolue, il est utile de garder à l'esprit la signification de la valeur absolue.
Définition de la valeur absolue
levaleur absolued'un nombreX, écrit |X|, est sa distance à zéro sur une droite numérique. Par exemple, -3 est à 3 unités de zéro, donc la valeur absolue de -3 est 3. Nous l'écrivons comme ceci: | -3 | = 3.
Une autre façon de penser est quevaleur absolueest la "version" positive d'un nombre. Ainsi, la valeur absolue de -3 est 3, tandis que la valeur absolue de 9, qui est déjà positive, est 9.
Algébriquement, on peut écrire unformule pour la valeur absolueça ressemble à ça :
| x | = \begin{cases} x &\text{if } x≥ 0 \\ -x &\text{if } x 0 \end{cases}
Prenons un exemple oùX= 3. Puisque 3 0, la valeur absolue de 3 est 3 (en notation de valeur absolue, c'est: | 3 | = 3).
Maintenant et siX= −3? C'est moins de zéro, donc | -3 | = −( −3). L'opposé, ou "négatif", de -3 est 3, donc | -3 | = 3.
Résolution d'équations en valeur absolue
Maintenant pour quelques équations de valeur absolue. Les étapes générales pour résoudre une équation en valeur absolue sont :
Isolez l'expression de valeur absolue.
Résoudre la "version" positive de l'équation.
Résoudre la "version" négative de l'équation en multipliant la quantité de l'autre côté du signe égal par -1.
Jetez un œil au problème ci-dessous pour un exemple concret des étapes.
Exemple: Résoudre l'équation deX:
| 3 + x | - 5 = 4
Vous devrez obtenir | 3 +X| par lui-même sur le côté gauche du signe égal. Pour ce faire, ajoutez 5 des deux côtés :
| 3 + x | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + x | = 9
Résoudre pourXcomme si le signe de la valeur absolue n'était pas là !
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
C'est facile: il suffit de soustraire 3 des deux côtés.
3 + x -3 = 9 -3 \\ x = 6
Donc une solution à l'équation est queX = 6.
Recommencez à | 3 +X| = 9. L'algèbre de l'étape précédente a montré queXpourrait être 6. Mais puisqu'il s'agit d'une équation en valeur absolue, il y a une autre possibilité à considérer. Dans l'équation ci-dessus, la valeur absolue de "quelque chose" (3 +X) est égal à 9. Bien sûr, la valeur absolue de 9 positif est égale à 9, mais il y a aussi une autre option ici! La valeur absolue de -9 est également égale à 9. Ainsi, le "quelque chose" inconnu pourrait également être égal à -9.
Autrement dit:
3 + x = -9
Le moyen rapide d'arriver à cette deuxième version est de multiplier la quantité de l'autre côté de la est égal à l'expression de la valeur absolue (9, dans ce cas) par −1, puis résolvez l'équation de là.
Donc:
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × ( -1) \\ 3 + x = -9
Soustrayez 3 des deux côtés pour obtenir :
3 + x -3 = -9 -3 \\ x = -12
Les deux solutions sont donc :X= 6 ouX = −12.
Et voila! Ce genre d'équations demande de la pratique, alors ne vous inquiétez pas si vous avez du mal au début. Continuez comme ça et ça deviendra plus facile !