Una serie de Taylor es un método numérico de representar una función dada. Este método tiene aplicación en muchos campos de la ingeniería. En algunos casos, como la transferencia de calor, el análisis diferencial da como resultado una ecuación que se ajusta a la forma de una serie de Taylor. Una serie de Taylor también puede representar una integral si la integral de esa función no existe analíticamente. Estas representaciones no son valores exactos, pero el cálculo de más términos en la serie hará que la aproximación sea más precisa.
Elija un centro para la serie Taylor. Este número es arbitrario, pero es una buena idea elegir un centro donde haya simetría en la función o donde el valor del centro simplifique las matemáticas del problema. Si está calculando la representación en serie de Taylor de f (x) = sin (x), un buen centro para usar es a = 0.
Determina la cantidad de términos que deseas calcular. Cuantos más términos use, más precisa será su representación, pero dado que una serie de Taylor es una serie infinita, es imposible incluir todos los términos posibles. El ejemplo de sin (x) utilizará seis términos.
Calcula las derivadas que necesitarás para la serie. Para este ejemplo, debe calcular todas las derivadas hasta la sexta derivada. Dado que la serie de Taylor comienza en "n = 0", debe incluir la derivada "0", que es solo la función original. Derivada 0 = sin (x) 1a = cos (x) 2da = -sin (x) 3a = -cos (x) 4a = sin (x) 5a = cos (x) 6a = -sin (x)
Calcula el valor de cada derivada en el centro que elegiste. Estos valores serán los numeradores de los primeros seis términos de la serie de Taylor. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Utilice los cálculos de derivadas y el centro para determinar los términos de la serie de Taylor. 1er trimestre; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2do término; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3er trimestre; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! Cuarto trimestre; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! Quinto término; n = 4; (¡0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6º trimestre; n = 5; (¡1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Serie de Taylor para sin (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Elimina los términos cero en la serie y simplifica la expresión algebraicamente para determinar la representación simplificada de la función. Esta será una serie completamente diferente, por lo que los valores de "n" utilizados anteriormente ya no se aplican. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... sin (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... Dado que los signos alternan entre positivo y negativo, el primer componente de la ecuación simplificada debe ser (-1) ^ n, ya que no hay números pares en la serie. El término (-1) ^ n da como resultado un signo negativo cuando n es impar y un signo positivo cuando n es par. La representación en serie de números impares es (2n + 1). Cuando n = 0, este término es igual a 1; cuando n = 1, este término es igual a 3 y así hasta el infinito. En este ejemplo, use esta representación para los exponentes de xy los factoriales en el denominador
Utilice la representación de la función en lugar de la función original. Para ecuaciones más avanzadas y más difíciles, una serie de Taylor puede hacer que una ecuación sin solución se pueda resolver, o al menos dar una solución numérica razonable.