Поняттявласні значеннянезрозумілий, але дуже корисний для математиків та фізиків, які стикаються з певними цікавими проблемами.
Щоб зрозуміти власне значення, уявіть собі функцію (наприклад,р = х2 + 6х, абор= журнал 4х), який ви могли б здійснити через якийсь процес, таким чином, що результат буде таким самим, як множення всієї функції на постійне значення. Така функція кваліфікується яквласна функція, а константа буде власним значенням.
- "Eigen" - це німецька для "те саме".
Щоб найкраще зрозуміти власні значення та власні функції та мати можливість самостійно обчислювати власні значення, вам потрібно базове розуміння матриць. Ці математичні хитрощі використовуються для визначення, скажімо, порядку зв’язку NO2 (діоксид азоту) та інших молекул, оскільки поведінка електронів в атомах визначається хвильовими функціями, які кваліфікуються як власні функції.
Що таке матриця?
Матриця - це масив чисел, упорядкованих у рядки та стовпці, який може мати кількість від 1 доп. Розміри матриць подаються як рядки за стовпцями; наприклад, наступна матриця 2 на 3:
\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Матриці можна складати разом, якщо вони однакового розміру (тобто мають однакову кількість рядків і однакову кількість стовпців). Вони також можуть бути помножені разом поетапним процесом за однакових умов. Крім того, будь-яку матрицю можна помножити на вектор, який дорівнює 1 напабоп-за матрицею-1; сюди входять інші вектори.
Що таке рівняння власного значення?
Скажімо, у вас єп-за-пабо "квадратна" матрицяA, ненульовийп-на-1 векторv, і скалярλ, такі, що виконується таке рівняння:
\ жирний {Av} = λ \ жирний {v}
Будь-яке значенняλдля якого це рівняння має рішення, відоме як власне значення матриціA.
Не дозволяйте своєму розуму ставитися до наведених вище виразів як до продукту.Aєоператорана або лінійне перетворення вектораv, це обчислення можливо лише тому, щоAіvобидва маютьпрядки.
Навіщо використовувати функції власного значення?
Виведення ускладнене, але в атомній хімії для вираження кінетичної та потенційної енергії системи використовується гамільтонівський оператор "H-bar":
\ капелюх Н = - \ dfrac {ℏ} {2м} ∇ ^ 2 + \ капелюх V (x, y, z)
Це використовується для написання формиРівняння хвильової функції Шредінгерав квантовій механіці:
\ капелюх Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
ОсьЕпредставляє власні значення, що задовольняють цьому рівнянню.
Шляхи пошуку власних значень матриці
З рівняння Av = λv ви отримуєтеA v − λv=0. Це призводить до:
\ жирний {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
ДеЯє матрицею ідентичності 2 на 2 з рядками [λ0] та [0λ], що веде до 1 при множенні на скалярλ. Цей результат дає:
(\ жирний {A} - λ \ жирний {I}) \ жирний {v} = 0
Який якщоvє ненульовим, має рішення, лише якщо абсолютне значенняA− λЯ, або |A − λЯ|, дорівнює нулю. Якщо ви робите це вручну, це передбачає вирішення квадратного рівняння і може бути нудним.
Щоб помножити дві матриці разом, для кожної точки в матриці добутку ви множите відповідні точки разом і додати це до продуктів інших елементів рядка та стовпця в рядку та стовпці, до яких додано нову точку належить.
Помножуючи дві матриці 2 на 2AіBразом, якщо перший рядокAдорівнює [1 3] і перший стовпецьBдорівнює [2 5], число в першому стовпці та рядку нової матриці буде [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15, і відповідно для інших трьох точок.
Розрахувати власні значення в Інтернеті
У "Ресурсах" ви знайдете інструмент обчислення матриці, який дозволяє знаходити власні значення та інше для матриці майже будь-якого можливого розміру.