Функція виражає зв'язки між константами та однією або кількома змінними. Наприклад, функція f (x) = 5x + 10 виражає зв'язок між змінною x і константами 5 і 10. Відомий як похідні і виражений як dy / dx, df (x) / dx або f '(x), диференціація знаходить швидкість зміни однієї змінної щодо іншої - у прикладі, f (x) відносно x Диференціація корисна для пошуку оптимального рішення, тобто знаходження максимальних або мінімальних умов.. Щодо розмежування функцій існують деякі основні правила.
Диференціювати постійну функцію. Похідна від константи дорівнює нулю. Наприклад, якщо f (x) = 5, то f ’(x) = 0.
Застосуйте правило потужності для розмежування функції. Правило потужності говорить, що якщо f (x) = x ^ n або x піднято до рівня n, тоді f '(x) = nx ^ (n - 1) або x піднято до рівня (n - 1) і помножено п. Наприклад, якщо f (x) = 5x, то f '(x) = 5x ^ (1 - 1) = 5. Подібним чином, якщо f (x) = x ^ 10, то f '(x) = 9x ^ 9; а якщо f (x) = 2x ^ 5 + x ^ 3 + 10, то f '(x) = 10x ^ 4 + 3x ^ 2.
Знайдіть похідну функції за допомогою правила добутку. Диференціал товару не є добутком диференціалів окремих його компонентів: Якщо f (x) = uv, де u і v - дві окремі функції, тоді f '(x) не дорівнює f' (u), помножене на f '(v). Швидше, похідна добутку від двох функцій перший раз помножена на похідну другої, плюс друга помножена на похідну першої. Наприклад, якщо f (x) = (x ^ 2 + 5x) (x ^ 3), похідними двох функцій є 2x + 5 та 3x ^ 2 відповідно. Тоді, використовуючи правило добутку, f '(x) = (x ^ 2 + 5x) (3x ^ 2) + (x ^ 3) (2x + 5) = 3x ^ 4 + 15x ^ 3 + 2x ^ 4 + 5x ^ 3 = 5x ^ 4 + 20x ^ 3.
Отримайте похідну від функції, використовуючи правило частки. Фактор - це одна функція, поділена на іншу. Похідна від коефіцієнта дорівнює знаменнику, помноженому на похідну від чисельника мінус чисельник, помноженому на похідну від знаменника, потім поділену на знаменник у квадраті. Наприклад, якщо f (x) = (x ^ 2 + 4x) / (x ^ 3), похідні функції чисельника та знаменника дорівнюють 2x + 4 та 3x ^ 2 відповідно. Тоді, використовуючи правило частки, f '(x) = [(x ^ 3) (2x + 4) - (x ^ 2 + 4x) (3x ^ 2)] / (x ^ 3) ^ 2 = (2x ^ 4 + 4x ^ 3 - 3x ^ 4 - 12x ^ 3) / x ^ 6 = (-x ^ 4 - 8x ^ 3) / x ^ 6.
Використовуйте звичайні похідні. Похідні загальних тригонометричних функцій, які є функціями кутів, не потрібно виводити з перших принципів - похідними sin x та cos x є cos x та -sin x, відповідно. Похідною експоненціальної функції є сама функція - f (x) = f ’(x) = e ^ x, а похідна натуральної логарифмічної функції ln x дорівнює 1 / x. Наприклад, якщо f (x) = sin x + x ^ 2 - 4x + 5, то f '(x) = cos x + 2x - 4.