Bir polinomun köklerine sıfırları da denir, çünkü köklerxfonksiyonun sıfıra eşit olduğu değerler. Kökleri gerçekten bulmaya gelince, emrinde birden fazla teknik var; Faktoring, en sık kullanacağınız yöntemdir, ancak grafik de yararlı olabilir.
Kaç Kök?
Polinomun en yüksek dereceli terimini, yani en yüksek üslü terimi inceleyin. Bu üs, polinomun kaç köke sahip olacağıdır. Yani polinomunuzdaki en yüksek üs 2 ise, iki kökü olacaktır; en yüksek üs 3 ise, üç kökü olacaktır; ve benzeri.
Uyarılar
-
Bir püf noktası var: Bir polinomun kökleri gerçek veya hayali olabilir. "Gerçek" kökler, gerçek sayılar olarak bilinen kümenin üyeleridir; bu, matematik kariyerinizin bu noktasında, uğraşmaya alıştığınız her sayıdır. Hayali sayılarda uzmanlaşmak tamamen farklı bir konudur, bu yüzden şimdilik üç şeyi unutmayın:
- Negatif bir sayının kareköküne sahip olduğunuzda "hayali" kökler ortaya çıkar. Örneğin, √(-9).
- Hayali kökler her zaman çiftler halinde gelir.
- Bir polinomun kökleri gerçek veya hayali olabilir. Yani 5. dereceden bir polinomunuz varsa, bunun beş gerçek kökü olabilir, üç gerçek kökü ve iki hayali kökü olabilir, vb.
Çarpanlara Ayırarak Kökleri Bulma: Örnek 1
Kökleri bulmanın en çok yönlü yolu, polinomunuzu mümkün olduğunca çarpanlara ayırmak ve ardından her terimi sıfıra eşitlemektir. Birkaç örnek izledikten sonra bu çok daha mantıklı. Basit polinomu düşününx2 – 4x:
Kısa bir inceleme, faktör yapabileceğinizi gösterirxpolinomun her iki teriminden de size şunu verir:
x (x - 4)
Her terimi sıfıra ayarlayın. Bu, iki denklemi çözmek anlamına gelir:
x = 0
sıfıra ayarlanmış ilk terimdir ve
x - 4 = 0
sıfıra ayarlanmış ikinci terimdir.
İlk terimin çözümü zaten elinizde. Eğerx= 0, o zaman tüm ifade sıfıra eşittir. Yanix= 0, polinomun köklerinden veya sıfırlarından biridir.
Şimdi, ikinci terimi düşünün vex. Her iki tarafa da 4 eklerseniz:
x - 4 + 4 = 0 + 4
hangi basitleştirir:
x = 4
Yani eğerx= 4 o zaman ikinci faktör sıfıra eşittir, bu da tüm polinomun da sıfıra eşit olduğu anlamına gelir.
Orijinal polinom ikinci dereceden olduğu için (en yüksek üs iki idi), bu polinom için sadece iki olası kök olduğunu biliyorsunuz. İkisini de zaten buldunuz, bu yüzden tek yapmanız gereken onları listelemek:
x = 0, x = 4
Faktoring Yoluyla Kökleri Bulma: Örnek 2
İşte yol boyunca biraz süslü cebir kullanarak çarpanlara ayırarak köklerin nasıl bulunacağına dair bir örnek daha. polinomu düşününx4 – 16. Üslerine hızlı bir bakış, bu polinom için dört kök olması gerektiğini gösterir; şimdi onları bulma zamanı.
Bu polinomun karelerin farkı olarak yeniden yazılabileceğini fark ettiniz mi? yani yerinex4 – 16, sahip olduğunuz:
(x^2)^2 - 4^2
Hangi, kareler farkı formülünü kullanarak aşağıdakileri çarpanlara ayırır:
(x^2 - 4)(x^2 + 4)
İlk terim yine kareler farkıdır. Bu nedenle, sağdaki terimi daha fazla çarpanlarına alamasanız da, soldaki terimi bir adım daha fazla çarpanlarına ayırabilirsiniz:
(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)
Şimdi sıfırları bulma zamanı. Hızlı bir şekilde anlaşılır ki eğerx= 2, ilk faktör sıfıra eşit olacak ve böylece tüm ifade sıfıra eşit olacaktır.
Benzer şekilde, eğerx= -2, ikinci faktör sıfıra eşit olacak ve böylece tüm ifade de sıfır olacaktır.
Yanix= 2 vex= -2, bu polinomun hem sıfırları hem de kökleridir.
Ama o son terim ne olacak? Üssü "2" olduğu için iki kökü olması gerekir. Ama alışık olduğunuz gerçek sayıları kullanarak bu ifadeyi çarpanlara ayıramazsınız. Hayali sayılar veya isterseniz karmaşık sayılar adı verilen çok gelişmiş bir matematiksel kavram kullanmanız gerekir. Bu, şu anki matematik uygulamanızın kapsamının çok ötesindedir, bu yüzden şimdilik iki gerçek kökünüz (2 ve -2) ve tanımsız bırakacağınız iki hayali kökünüz olduğunu not etmek yeterli.
Grafiğe Göre Kökleri Bul
Ayrıca, grafikleri çizerek kökleri bulabilir veya en azından tahmin edebilirsiniz. Her kök, fonksiyonun grafiğinin kesiştiği noktayı temsil eder.xeksen. Bu nedenle, çizginin grafiğini çizer ve ardındanxçizginin kesiştiği yerin koordinatlarıxeksen, tahmini ekleyebilirsinizxbu noktaların değerlerini denkleminize ekleyin ve doğru alıp almadığınızı kontrol edin.
Polinom için çalıştığınız ilk örneği düşününx2 – 4x. Dikkatlice çizerseniz, çizginin çizgiyi geçtiğini göreceksiniz.xeksenx= 0 vex= 4. Bu değerlerin her birini orijinal denkleme girerseniz, şunları elde edersiniz:
0^2 - 4(0) = 0
yanix= 0, bu polinom için geçerli bir sıfır veya köktü.
4^2 - 4(4) = 0
yanix= 4 ayrıca bu polinom için geçerli bir sıfır veya köktür. Ve polinom 2. dereceden olduğu için, iki kök bulduktan sonra aramayı bırakabileceğinizi biliyorsunuz.