İngilizcedeki "dizi" ve "dizi" kelimeleri benzer anlamlara sahipken, matematikte tamamen farklı kavramlardır. Bir dizi, tanımlanmış bir sıraya yerleştirilmiş sayıların bir listesidir, bir dizi ise böyle bir sayı listesinin toplamıdır. Sonsuz sayı listelerine dayananlar da dahil olmak üzere birçok dizi türü vardır. Farklı diziler ve karşılık gelen diziler farklı özelliklere sahiptir ve şaşırtıcı sonuçlar verebilir.
TL; DR (Çok Uzun; Okumadım)
Diziler, verilen kurallara göre belirli bir sıraya göre yerleştirilmiş sayıların listeleridir. Bir diziye karşılık gelen dizi, o dizideki sayıların toplamıdır. Seriler aritmetik olabilir, yani serilerin sayıları arasında sabit bir fark vardır veya geometrik, yani sabit bir faktör vardır. Sonsuz serilerin nihai bir numarası yoktur, ancak belirli koşullar altında hala sabit bir toplamı olabilir.
Dizi ve Seri Türleri
Yaygın diziler aritmetik veya geometriktir. Bir aritmetik dizide, dizinin her bir sayısı veya terimi, önceki terimden aynı miktarda farklıdır. Örneğin, bir aritmetik dizi farkı 2 ise, karşılık gelen bir aritmetik dizi 1, 3, 5 olabilir... Fark -3 ise, bir dizi 4, 1, -2 olabilir... Aritmetik dizi, başlangıç numarası ve farkı ile tanımlanır.
Geometrik diziler için terimler bir faktöre göre farklılık gösterir. Örneğin, çarpanı 2 olan bir dizi 2, 4, 8 olabilir... ve 0.75 faktörlü bir dizi 32, 24, 18 olabilir... Geometrik dizi, başlangıç numarası ve faktör ile tanımlanır.
Dizi türleri, eklenen diziye bağlıdır. Bir aritmetik dizi, bir aritmetik dizinin terimlerini ekler ve bir geometrik dizi bir geometrik dizi ekler.
Sonlu ve Sonsuz Diziler ve Seriler
Diziler ve karşılık gelen diziler, sabit sayıda veya sonsuz sayıda terime dayalı olabilir. Sonlu bir dizinin bir başlangıç numarası, bir farkı veya faktörü ve sabit bir toplam terim sayısı vardır. Örneğin, sekiz terimli yukarıdaki ilk aritmetik dizi 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 olacaktır. Altı terimli yukarıdaki ilk geometrik dizi 2, 4, 8, 16, 32, 64 olacaktır. Karşılık gelen aritmetik seri 64 ve geometrik seri 126 değerine sahip olacaktır. Sonsuz dizilerin sabit sayıda terimi yoktur ve terimleri sonsuza kadar büyüyebilir, sıfıra düşebilir veya sabit bir değere yaklaşabilir. Karşılık gelen seri ayrıca sonsuz, sıfır veya sabit bir sonuca sahip olabilir.
Yakınsak ve Iraksak Seriler
Terim sayısı arttıkça toplam sonsuza yaklaşırsa sonsuz seriler ıraksaktır. Sonsuz bir seri, toplamı sıfır veya başka bir sabit sayı gibi sonsuz olmayan bir değere yaklaşıyorsa yakınsaktır. Temel dizinin terimleri hızla sıfıra yaklaşırsa, seriler yakınsaktır.
Sonsuz dizi 1, 2, 4'ün terimlerini toplayan dizi... ıraksaktır çünkü dizinin terimleri artmaya devam eder ve terim sayısı arttıkça toplamın sonsuz bir değere ulaşmasına izin verir. Seri 1, 0,5, 0,25... yakınsaktır çünkü terimler hızla çok küçülür.
Diziler sıralı sayı listeleri ve diziler toplamlar olsa da, her ikisi de önemli araçlar olabilir. sayı kümelerinin değerlendirilmesi ve yakınsama veya uzaklaşma özellikleri gerçek hayata sahip olabilir etkileri. Iraksak bir seri genellikle kararsız bir durumu temsil ederken, yakınsak bir seri genellikle bir süreç veya yapının kararlı olacağı anlamına gelir.