Иррациональное число не так страшно, как кажется; это просто число, которое нельзя выразить простой дробью или, иначе говоря, иррациональное число - это бесконечное десятичное число, продолжающееся бесконечное количество разрядов после десятичная точка. Вы можете выполнять большинство операций с иррациональными числами так же, как с рациональными числами, но когда дело доходит до извлечения квадратного корня, вам придется научиться приближать значение.
Что такое иррациональное число?
Так что же такое иррациональное число? Возможно, вы уже знакомы с двумя очень известными иррациональными числами: π или «пи», которое почти всегда сокращается до 3,14, но на самом деле продолжается до бесконечности справа от десятичной точки; и «е», также известное как число Эйлера, которое обычно сокращается до 2,71828, но также продолжается до бесконечности вправо от десятичной точки.
Но существует гораздо больше иррациональных чисел, и вот простой способ определить некоторые из них: если число под знаком квадратного корня не является полным квадратом, тогда этот квадратный корень является иррациональным номер.
Это ужасно громоздко, так что вот пример, чтобы прояснить это. Также полезно помнить, что полный квадрат - это число, квадратный корень которого является целым числом:
√8 - иррациональное число?Если вы запомнили свои идеальные квадраты или потратили время на их поиск, вы поймете, что
\ sqrt {4} = 2 \ text {и} \ sqrt {9} = 3
Поскольку √8 находится между этими двумя числами, но нет целого числа от 2 до 3, которое могло бы быть его корнем, √8 иррационально.
Извлечение квадратного корня из иррационального числа
Когда дело доходит до вычисления квадратного корня из иррационального числа, у вас есть два варианта. Либо поместите иррациональное число в калькулятор, либо в онлайн-калькулятор квадратного корня (см. Ресурсы), и в этом случае калькулятор вернет вам приблизительное значение - или вы можете использовать четырехэтапный процесс, чтобы оценить значение сам.
Пример 1:Оцените значение иррационального числа √8.
Найдите идеальные квадраты, которые будут по обе стороны от √8 на числовой прямой. В этом случае √4 = 2 и √9 = 3. Выберите тот, который ближе всего к вашему целевому числу. Поскольку 8 гораздо ближе к 9, чем к 4, выберите
\ sqrt {9} = 3
Затем разделите число, корень которого вы хотите - 8 - на вашу оценку. Продолжая пример, у вас есть:
\ frac {8} {3} = 2,67
Теперь найдите среднее значение результата из шага 2 с делителем из шага 2. Здесь это означает усреднение 3 и 2,67. Сначала сложите два числа, а затем разделите на два:
3 + 2.67 = 5.6667
(На самом деле это повторяющееся десятичное число 5,6666666666, но для краткости оно было округлено до четырех знаков после запятой.)
\ frac {5.6667} {2} = 2,83335
Результат шага 3 все еще неточный, но приближается. При необходимости повторите шаги 2 и 3, каждый раз используя результат из шага 3 в качестве нового делителя на шаге 2.
Чтобы продолжить пример, вы должны разделить 8 на результат шага 3 (2,83335), что даст вам:
\ frac {8} {2,83335} = 2,8235
(Снова округляем до четырех знаков после запятой для краткости.)
Затем вы усредните результат своего деления с делителем, который даст вам:
2,83335 + 2,8235 = 5,65685 \\ \, \\ \ frac {5,65685} {2} = 2,828425
Вы можете продолжить этот процесс, повторяя шаги 2 и 3 по мере необходимости, пока ответ не будет настолько точным, насколько вам нужно.
А как насчет иррациональных квадратных корней?
Иногда вместо того, чтобы найти квадратный корень из иррационального числа, вам нужно иметь дело с иррациональными числами, которые выражаются в форме квадратного корня - одно из самых известных, о которых вы узнаете, - это √2.
С √2 мало что можно сделать, кроме как приблизить его значение, как описано выше. Но если вы получаете большее иррациональное число в форме квадратного корня, вы можете иногда использовать тот факт, что
\ sqrt {cd} = \ sqrt {c} × \ sqrt {d}
переписать ответ в более простой форме.
Рассмотрим иррациональный квадратный корень √32. Хотя у него нет основного корня (то есть неотрицательного целочисленного корня), вы можете разделить его на что-то со знакомым основным корнем:
\ sqrt {32} = \ sqrt {16} × \ sqrt {2}
Вы по-прежнему мало что можете сделать с √2, но √16 = 4, поэтому вы можете пойти дальше и записать его как
\ sqrt {32} = 4 \ sqrt {2}
Хотя вы не исключили полностью знак радикала, вы упростили это иррациональное число, сохранив при этом его точное значение.