Een normaalkromme is de naam van de grafiek van de standaard normale kansverdeling, waar mensen (vaak onbewust) over praten als ze een "belcurve" noemen die laat zien waar mensen of andere variabelen staan in relatie tot een populatiegemiddelde of gemiddelde.
Een standaard normaalcurve geeft zowel een visuele als een numerieke weergave van hoe een bepaalde variabele over een populatie wordt verdeeld wanneer de het is bekend dat de werkelijke situatie die wordt weergegeven door de functie een symmetrische verdeling heeft in de populatie van interesse (vandaar de "bel" vorm). Dit kan IQ of lengte bij mannen omvatten, die net zo waarschijnlijk zal variëren naar de ene kant van het gemiddelde als naar de andere, en het zal waarschijnlijk ook met dezelfde grootte variëren.
Alle normale curven en de bijbehorende gegevens hebben bepaalde kenmerken gemeen die het genereren mogelijk maken van numerieke tabellen die het mogelijk maken om oppervlaktewaarden op te lossen in plaats van complexere wiskundige berekeningen.
De standaard normale verdeling
In elke normale verdeling valt per definitie iets minder dan 68 procent van de gegevenspunten binnen één standaarddeviatie van het gemiddelde van de populatie of populatiesteekproef. Ongeveer 95 procent valt binnen twee standaarddeviaties en 99,9 procent ligt binnen drie standaarddeviaties.
Aan elk standaarddeviatieteken wordt een geheel getal toegekend rond het gemiddelde (bijv. -3, -2, 1, 1, 2, 3) en de variabele z. Deze waarde, of z-score, kan ook niet-gehele waarden aannemen (bijvoorbeeld -2,58).
Z-scores worden gebruikt om de waarschijnlijkheid te bepalen dat een gebeurtenis zich voordoet binnen een gespecificeerd bereik van mogelijkheden. Als u bijvoorbeeld wordt verteld dat het gemiddelde en de standaarddeviatie voor IQ (intelligentiequotiënt) 100 en 20 punten zijn, waardoor z = 0 voor IQ = 100 en z = 1,0 voor IQ = 120, en wordt gevraagd om de kans te geven dat een willekeurig gekozen persoon een IQ van 140 of hoger heeft, gebruik je een z-tabel om tot een oplossing te komen.
Het gebied onder de normale curve
In de meeste gevallen in de wiskunde wordt het gebied onder de curve van de grafiek van een vergelijking gevonden door te manipuleren de unieke elementen van die vergelijking rechtstreeks, zoals door de curve te integreren tussen de x-coördinaten van interesseren. Met de normale curve zoekt u in plaats daarvan een of twee getallen op in een tabel met de naam z-waarden en voert u, indien nodig, een aftrekstap uit.
Het gebied onder de gehele normaalkromme, ongeacht de precieze vorm, krijgt de waarde 1,0. Alle deelgebieden onder de normale curve zijn dus decimale getallen tussen 0 en 1 en kunnen eenvoudig worden omgezet in percentages door ze met 100 te vermenigvuldigen.
Z-tabellen maken metingen tot de honderdste plaats van de score mogelijk om gebieden tot vier of vijf significante cijfers te geven. Dit wordt gedaan door de tiende plaats op de linkeras te krijgen en vervolgens over de juiste rij te lezen om de honderdste plaats te krijgen.
- Dit verklaart waarom de proportie van het gebied links van z = -2,58 gelijk is aan 0,00494.
Normale verdeling: gebied tussen twee punten
Stel dat je bij een toets met een gemiddelde van 80 en een standaarddeviatie van 10 wilt weten welk percentage van de leerlingen een score had tussen 65 en 85.
Je zou beginnen met het vinden van de bovenste en onderste z-scores. Dit doe je door het gemiddelde van je bovengrens af te trekken en te delen door de standaarddeviatie: (85 - 80)/10 = 0,50. De ondergrens vind je dan op dezelfde manier: (65 - 80)/10 -1,50.
Nu kunt u gebiedswaarden toewijzen aan deze z-scores door te verwijzen naar de tabel. Deze waarden zijn 0,68916 voor z = 0,5 en 0,06681 voor z = 1,5. Elk van deze gebieden vertegenwoordigt het gebied onder de curve van de linker "staart" naar de x-waarde in kwestie, dus voor het gebied tussen de twee punten x = 65 en x = 85, trek je de kleinere waarde af van de grotere om te krijgen 0.63135.
Zo kon verwacht worden dat 63,1 procent van de scores binnen het bereik van 65 tot 85 zou vallen, gegeven een standaarddeviatie van 10 in een normale verdeling.