Una de las operaciones importantes que haces en cálculo es encontrar derivadas. La derivada de una función también se llama tasa de cambio de esa función. Por ejemplo, si x (t) es la posición de un automóvil en cualquier momento t, entonces la derivada de x, que se escribe dx / dt, es la velocidad del automóvil. Además, la derivada se puede visualizar como la pendiente de una recta tangente a la gráfica de una función. A nivel teórico, así es como los matemáticos encuentran derivadas. En la práctica, los matemáticos utilizan conjuntos de reglas básicas y tablas de búsqueda.
La derivada como pendiente
La pendiente de una línea entre dos puntos es la subida, o la diferencia en los valores de y dividida por la carrera, o la diferencia en los valores de x. La pendiente de una función y (x) para un cierto valor de x se define como la pendiente de una línea que es tangente a la función en el punto [x, y (x)]. Para calcular la pendiente se construye una línea entre el punto [x, y (x)] y un punto cercano [x + h, y (x + h)], donde h es un número muy pequeño. Para esta línea, la corrida o cambio en el valor de x es h, y el aumento o cambio en el valor de y es y (x + h) - y (x). En consecuencia, la pendiente de y (x) en el punto [x, y (x)] es aproximadamente igual a [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. Para obtener la pendiente exactamente, calcula el valor de la pendiente a medida que h se hace cada vez más pequeña, hasta el "límite" donde llega a cero. La pendiente calculada de esta manera es la derivada de y (x), que se escribe como y ’(x) o dy / dx.
La derivada de una función de potencia
Puede usar el método pendiente / límite para calcular las derivadas de funciones donde y es igual a x elevado a la potencia de a, o y (x) = x ^ a. Por ejemplo, si y es igual a x al cubo, y (x) = x ^ 3, entonces dy / dx es el límite cuando h llega a cero de [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Expandir (x + h) ^ 3 da [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, que se reduce a 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 después de dividir por h. En el límite cuando h va a cero, todos los términos que tienen h también van a cero. Entonces, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Puede hacer esto para valores distintos de 3 y, en general, puede mostrar que d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Derivado de una serie de potencias
Muchas funciones se pueden escribir como lo que se llama una serie de potencias, que son la suma de un número infinito de términos, donde cada uno tiene la forma C (n) x ^ n, donde x es una variable, n es un número entero y C (n) es un número específico para cada valor de norte. Por ejemplo, la serie de potencias para la función seno es Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., donde "..." significa términos que continúan en hasta el infinito. Si conoce la serie de potencias de una función, puede usar la derivada de la potencia x ^ n para calcular la derivada de la función. Por ejemplo, la derivada de Sin (x) es igual a 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., que resulta ser la serie de potencias de Cos (x).
Derivadas de tablas
Las derivadas de funciones básicas como potencias como x ^ a, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones trigonométricas, se encuentran utilizando el método de pendiente / límite, el método de series de potencia u otros métodos. Estos derivados se enumeran luego en tablas. Por ejemplo, puede buscar que la derivada de Sin (x) es Cos (x). Cuando las funciones complejas son combinaciones de las funciones básicas, necesita reglas especiales como la regla de la cadena y la regla del producto, que también se dan en las tablas. Por ejemplo, usa la regla de la cadena para encontrar que la derivada de Sin (x ^ 2) es 2xCos (x ^ 2). Utiliza la regla del producto para encontrar que la derivada de xSin (x) es xCos (x) + Sin (x). Usando tablas y reglas simples, puede encontrar la derivada de cualquier función. Pero cuando una función es extremadamente compleja, los científicos a veces recurren a programas de computadora en busca de ayuda.